RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

46 Tre vigtige sætninger for RSA
For den anden vej begynder vi med at antage, at a(modm) = b(modm).
Det vil sige at a og b har samme rest r ved division med m. Altså, at
a = q1m + r og b = q2m + r for 0 ≤ r ≤ m. Ved at trække b fra a får vi,
at
a − b = (q1m + r) − (q2m + r)
= (q1 − q2)m.
Men det betyder, at m | (a−b), hvilket jo ifølge definitionen er det samme
som, at a ≡ b (mod m).
Eksempel 3.6
Da 17 (mod 6) = 5 (mod 6) er 17 ≡ 5 (mod 6). Og omvendt. ⋄
Vi burde nu have en ide om hvad kongruens er og hvad modulo-regning
går ud på, så lad os nu vise en rigtig sætning om dette, ikke bare en
‘omformulering’ af definitionen.
Sætning 3.7
Lad m være et heltal større end nul. Hvis a ≡ b (mod m) og c ≡ d (mod m)
så gælder, at
i. a + c ≡ b + d (mod m) og
ii. ac ≡ bd (mod m).
Bevis *
At a ≡ b (mod m) og c ≡ d (mod m) vil sige, at a − b = ms og c − d = mt
for to heltal s og t.
I første tilfælde, (i), kan vi opskrive følgende:
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d)
= ms + mt
= m(s + t).
Men så vil m | [(a + c) − (b + d)] og ifølge definitionen har vi da, at
a + c ≡ b + d (mod m).
I det andet tilfælde, (ii), kan vi ræsonnere på lignende vis:
ac − bd = ac − bc + bc − bd
= (a − b)c + b(c − d)
= msc + bmt
= m(sc + bt).
hvorfor m | (sc + bt) og ac ≡ bd (mod m).
Eksempel 3.8
Vi betragter de to kongruenser 17 ≡ 5 (mod 6) og 19 ≡ 1 (mod 6). Ifølge
sætning 3.7 (i) har vi, at
17 + 19 ≡ 5 + 1 (mod 6) ⇔ 36 ≡ 6 (mod 6)
⇔ 36 ≡ 0 (mod 6),