RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.5 Uløste problemer i talteori 65
er faktisk den mest effektive måde at konstruere en liste over samtlige primtal
op til sådan cirka 1 million eller 10. Sien fungerer som følger: Først opskrives
alle tal op til et eller andet n. Derefter stryges hvert tal i 2-tabellen på nær
2. Så stryges hvert tal i 3-tabellen på nær tre. 4 er væk, da 4-tabellen er en
delmængde af 2-tabellen. Hvert tal i 5-tabellen på nær 5 stryges dernæst.
6 er væk, da 6-tabellen er en delmængde af 3-tabellen. Så stryges tallene
i 7-tabellen på nær 7, og så videre. Tilbage har man en liste af primtal
op til n. Processen afslører tilmed mindst én faktor af de sammensatte
tal (hvordan?). Des højere tallene bliver des mindre effektiv begynder
metoden dog fra et datalogisk synspunkt at være.
Som vi så beskæftigede Fermat sig også med om tal er primtal eller ej,
og faktisk er hans lille sætning et af de mere vigtige værktøjer til sådanne
bestemmelser – og det også uden at basere sig på faktoriseringer. Som set i
afsnit 3.3 siger Fermats lille sætning, at hvis k er et primtal og n er et
vilkårligt heltal, så er n k − n et multiplum af k. En anden formulering
af denne sætning siger, at hvis n k − n ikke et multiplum af k, så er k et
sammensat tal. Eksempelvis hvis k = 9 og n = 2 er udtrykket 2 9 − 2 lig
510 som modulo 9 giver et resultat forskelligt fra nul, nemlig 6. Altså er det
med den lille sætning muligt, omend måske lidt ad omveje, at konkludere
at 9 ikke er et primtal. En test af om et tal er primtal eller ej ved brug af
den lille sætning kaldes for Fermats test. Det her givne eksempel med 9
er selvfølgelig ret så simpelt, men det giver alligevel en ide om, hvordan
man ved hjælp af Fermats lille sætning er i stand til at teste, hvorvidt
enorme heltal er primtal eller ej. (For andre mere regnetunge eksempler se
opgave 51.) Imidlertid løser Fermats test ikke fuldstændig problemet med
at teste for primtal; hvis for et tal n tallet n k − n giver en rest forskellig
fra nul modulo k er k bestemt et sammensat tal, men hvis nu vi får resten
nul, kan k så stadig være et sammensat tal? Eller sagt på en anden måde,
hvis Fermats test giver rest nul kan vi så være sikre på, at k er et primtal?
Faktisk antyder en række eksempler dette: 2 2 − 2 er et multiplum af 2,
2 3 − 2 er et multiplum af 3, 2 5 − 2 er et multiplum af 5, 2 7 − 2 er et
multiplum af 7, og tallene 2, 3, 5 og 7 er alle primtal. Kineserne opdagede
for godt 2500 år siden dette mønster og mente derfor, at hvis 2 k − 2 var et
multiplum af k måtte k være et primtal. Dette ‘resultat’ er fremlagt i værket
I Ching som Leibniz studerede i forbindelse med sine arbejde med binære tal,
og derfor troede også han, at resultatet var sandt. I 1819 fandt den franske
matematiker Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) imidlertid et modeksempel.
Sarrus observerede, at 2 341 − 2 er et multiplum af 341 til trods for at 341 er
et sammensat tal, idet 341 = 11 · 31. Sådanne sammensatte tal som formår
at skjule sig for Fermats test kaldes for pseudoprimtal. Hvis n, som i
tilfældet med Sarrus’ modeksempel, er lig 2 taler man om pseudoprimtal i
talbase 2. Det er blevet regnet ud, at antallet af pseudoprimtal i talbase 2
mindre end tallet 20 milliarder kun er 19.865. Det vil sige, at hvis Fermats
test blev udført i talbase 2 for alle tal mindre end 20 milliarder ville der
kun være en fejlmargin på 1 milliontedel. Det er ikke særlig meget, men
hvis man ønsker at kunne teste om samtlige tal er primtal eller ej er
det naturligvis ikke godt nok. Begrebet pseudoprimtal i talbase 2 kan