RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

54 Tre vigtige sætninger for RSA
hvert fald må anses for helt usandsynligt, at Fermat har kendt til netop dette
bevis, som i øvrigt fylder 109 tætskrevne sider i et matematisk tidsskrift.
Om Fermat derimod kendte til et andet bevis kan ikke vides med sikkerhed,
og specielt ikke som Fermat havde for vane ikke at nedskrive særlig mange
af sine beviser. Muligvis kendte Fermat allerede til sætningen i 1636, men
betegnelsen ‘sidste sætning’ skyldes formentlig det faktum, at denne ikke blev
offentlig kendt før i 1670, hvor hans søn Samuel udgav en udgave af Bachets
oversættelse af Diophantus’ Arithmetica indeholdende sin faders noter.
Den sætning som vi skal interesse os for her er den der i dag kendes
som Fermats lille sætning. Fermat nævner første gang denne sætning i 1640,
først i form af et par specialtilfælde i et brev til Mersenne i juni måned og
senere i sin generelle form i et brev til en anden fransk ‘hobby-matematiker’,
Bernard Frenicle de Bessy (1605-1675), i oktober måned. Fermat kom på
sporet af sætningen i forbindelse med et spørgsmål (i forklædning) fra Frenicle
angående, hvorvidt Mersenne-tallet 2 37 −1 er et primtal. Det mest interessante
af specialtilfældene af den lille sætning i korrespondancen med Mersenne
lyder:
Hvis n er et primtal og p er en primdivisor i 2 n − 1, så er p − 1
et multiplum af n.
Dette resultat brugte Fermat til at sige, at hvis 2 37 − 1 har en primdivisor p
så må 37 gå op i p − 1. Fra et andet resultat vidste Fermat, at da p var ulige
skulle det søges blandt primtallene af formen 74n + 1. Det første primtal
på denne form er 149, hvilket ikke er en divisor i 2 37 − 1, det næste er 223,
hvilket rent faktisk viser sig at være en divisor, idet
2 37 − 1 = 137438953471 = 223 · 616318177,
hvorved Fermat havde vist, at 2 37 −1 ikke er et af de i dag såkaldte Mersenneprimtal.
Pierre de Fermat (1601-1665)
Pierre de Fermat var jurist af uddannelse og fra
1631 og frem til sin død fungerede han som byretsdommer
i Toulouse i Frankrig, hvor han som en
af sine juridiske bedrifter blandt andet fik brændt
en præst på bålet. Men Fermat var også ‘hobbymatematiker’
og hans interesse for matematik menes
at have begyndt under hans ophold i Bordeaux
i slutningen af 1620’erne. Her mødte Fermat
dommeren Étienne d’Espagnet og fik gennem ham
adgang til flere af Viètes matematiske værker. Gennem
sin kollega og ven, Pierre de Carcavi (1600-
1684), blev Fermat i 1636 introduceret til en gruppe
bestående af matematikerne Mersenne, Étienne
Pascal (1588-1651) og Roberval (1602-1675). Det
var gennem korrespondancer med dem, og specielt
via munken Mersenne til andre matematikere, at
Fermat kunne pleje sin interesse for matematikken.
Fermat lavede i sin levetid banebrydende arbejde
inden for talteori, udviklede sandsynlighedsregningen
sammen med Étiennes søn Blaise Pascal (1623-
1662), etablerede differentialregningen og meget
mere.