RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.6 Opgaver 75
Opgave 55 (Historisk opgave)
Som beskrevet i afsnit 3.5 beretter Goldbach i 1742 om sin formodning
til Euler. Goldbach skriver følgende:
Jeg skal vove en formodning: at ethvert tal som er komponeret
af to primtal er en sammenlægning af så mange tal som vi ønsker
(inklusive enhed), til kombinationen af samtlige enheder [er nået].
[Goldbach tilføjer i marginen:] Efter at have genlæst dette finder
jeg, at formodningen kan demonstreres med fuld stringens for
tilfældet n + 1, hvis den er opfyldt i tilfældet for n og hvis
n + 1 kan deles op i to primtal. Demonstrationen er ganske let.
I alle tilfælde lader det til, at ethvert heltal større end 2 er en
sammenlægning af tre primtal. (Struik; 1969, side 47, oversat fra
engelsk)
Det der i dag omtales som ‘Goldbachs oprindelige formodning’, inden
Euler ændrede denne til den nuværende Goldbachs formodning (se afsnit
3.5), udgøres af den sidste sætning i citatet: »... ethvert heltal større end
2 er en sammenlægning af tre primtal.«
a. Forklar, hvad Goldbach mener med ‘komponeret’.
b. Hvad forudsætter Goldbach implicit når han taler om ‘kombinationen
af samtlige enheder’?
c. For heltallene 1 op til og med 12 opskriv da for hvert tal samtlige af
de kombinationer Goldbach omtaler.
d. Identificer i disse kombinationer de sammenlægninger som opfylder
henholdsvis ‘Goldbachs oprindelige formodning’ og Eulers strengere
‘Goldbachs formodning’.