RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

3.3 Fermats lille sætning 57 som er kongruente modulo p, in ≡ jn (mod p), hvilket er det samme som, at p | jn − in, eller p | (j − i)n. Da n og p er indbyrdes primiske og p | (j − i)n følger af sætning 2.19 at p | (j − i) (vi har jo, at p ∤ n). Men dette er jo umuligt siden j − i nødvendigvis er et positivt heltal mindre end p, altså har vi en modstrid. (2) Da vi ifølge ovenstående har at ingen to heltal 1n, 2n, 3n, . . . , (p − 1)n er kongruente modulo p må det forholde sig således, at hvert af disse heltal er kongruent modulo p til et forskelligt tal mellem 1 og p − 1. Tager vi derfor produktet 1n · 2n · 3n · · · (p − 1)n modulo p vil resultatet af dette være det samme som produktet af tallene fra 1 til p − 1 modulo p, altså 1n · 2n · 3n · · · (p − 1)n ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) (mod p), hvilket vi kan omskrive til (p − 1)!n p−1 ≡ (p − 1)! (mod p). (3) Ifølge Wilsons sætning, sætning 3.22, er (p − 1)! ≡ −1 (mod p), hvorfor vi kan omskrive ovenstående udtryk til (−1)n p−1 ≡ −1 (mod p). Ved at gange igennem med −1 får vi det ønskede resultat, n p−1 ≡ 1 (mod p), og da vi allerede i del (1) af beviset forudsatte, at p ∤ n har vi altså Fermats lille sætning. Eksempel 3.26 Lad igen p = 5 og lad n = 6, der gælder at 5 ∤ 6. Vi har at 6 5−1 = 6 4 = 1296. Der gælder oplagt at 5 er en divisor i 1295, hvorfor 6 5−1 ≡ 1 (mod 5). ⋄ En anden formulering af Fermats lille sætning, som man også tit støder på, lyder: Sætning 3.27 Lad p være et primtal, da haves for alle heltal n, at n p ≡ n (mod p). Bevis For at vise dette må vi kigge på to tilfælde: p | n og p ∤ n. Hvis p ∤ n ganger vi blot igennem med n i udtrykket fra sætning 3.25 og får således det ønskede. Hvis p | n så vil begge sider af n p ≡ n(modp) være 0 modulo p og kongruensen vil derfor stadig være sand.
58 Tre vigtige sætninger for RSA En hel del af Fermats andre interesseområder, som for eksempel sandsynlighedsregningen, kunne han diskutere med ligesindede matematikere. Med talteorien var det imidlertid en anden sag, da der kun var få af Fermats samtidige matematikere, udover Frenicle og Mersenne, der havde interesse i denne. Fermat overvejede i flere omgange selv at publicere et værk indeholdende sine talteoretiske resultater, men at sende noget i pressen på Fermats tid var langtfra en nem sag for en matematiker. For at typografen kunne udføre et tåleligt stykke arbejde måtte han nøje superviseres af enten forfatteren selv eller en anden som var bekendt med forfatterens stil og notation. Da Fermat ikke kunne finde nogen som ville påtage sig dette job, og da han ikke selv følte sig i stand dertil, opgav han at publicere. Således var det ikke førend i 1670, da Samuel de Fermat begyndte at udgive sin faders efterladte skrifter, at Fermats arbejde med talteori blev offentlig kendt. Men da ingen af 1600-tallets matematikere interesserede sig for talteori fik offentliggørelsen ikke nogen større betydning til at begynde med. Ikke før i midten af det 18. århundrede blev tråden samlet op af en anden matematiker, hvis interessesfære inden for matematikken, ligesom Fermats, bredte sig vidt. Denne matematiker var Leonhard Euler. 3.4 Eulers sætning I 1600-tallet var det at være matematiker oftest en fritidsbeskæftigelse, da der ikke var særlig mange faste stillinger ved akademierne rundt omkring i Europa. Store matematikere som Viète, Fermat og Leibniz var derfor såkaldte ‘hobbymatematikere’, der drev deres matematiske virksomhed, omend for disse tre på et meget højt niveau, ved siden af deres faste stillinger. Viète var uddannet jurist, men besad igennem sin levetid diverse forskellige stillinger, eksempelvis i parlamentet i Paris som privat kongelig rådgiver for Henrik III samt som kryptoanalytiker; som vi ved var Fermat af uddannelse ligeledes Leonhard Euler (1707-1783) Leonhard Euler er en af de mest producerende og formentlig også største matematikere gennem tiden. I en alder af 14 år begyndte han på universitet i Basel, hvor han snart blev opdaget af matematikprofessoren Johann Bernoulli. Eulers far, der var præst, havde selv studeret en smule matematik under Johanns ældre bror, Jacob, og gik med til at hans søn læste matematik i stedet for teologi, hvilket ellers var planen. Euler færdiggjorde sine studier som 19-årig. I 1727 blev Euler ansat ved akademiet i Skt. Petersborg og forblev tilknyttet hertil resten af sit liv til trods for et 25-årigt ophold i Berlin fra 1741-1766. Fra 1766 og frem til sin død i 1783 opholdt Euler sig sammen med sin kone og fem børn i Sct. Petersborg. Som følge af en sygdom mistede Euler i 1738 synet på sit højre øje og synet på det venstre blev gradvist svagere frem til 1771, hvor han var helt blind. Til trods for blindheden producerede Euler næsten halvdelen af sit enorme arbejde, i såvel matematik som fysik, i perioden efter 1765 blandt andet med hjælp fra sine to ældste sønner.
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?