RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

52 Tre vigtige sætninger for RSA
Eksempel 3.17
Lad der være givet m1 = 2, m2 = 3, m3 = 5 og m4 = 11. Disse er alle
primtal og derfor parvis indbyrdes primiske. Det bemærkes, at vi med
a = 331 og b = 1 har, at 331 ≡ 1(mod2), 331 ≡ 1(mod3), 331 ≡ 1(mod5)
og 331 ≡ 1 (mod 11). Ifølge sætning 3.16 har vi da, at 331 ≡ 1 (mod 330),
idet 2 · 3 · 5 · 11 = 330. ⋄
Vi kan nu formulere og bevise den kinesiske restsætning.
Sætning 3.18: Den kinesiske restsætning
Lad m1, m2, . . . , mn være parvis indbyrdes primiske positive heltal. Systemet
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), . . . , x ≡ an (mod mn)
har en entydig løsning x modulo m = m1m2 · · · mn.
Entydig løsning modulo m betyder igen, at der er en løsning x med
0 ≤ x < m og at alle andre løsninger er kongruente modulo m til denne
løsning. For at bevise den kinesiske restsætning må vi argumentere både
for eksistensen af en løsning såvel som entydigheden af denne.
Bevis
Vi begynder med at vise eksistensen. For at konstruere en løsning x til
systemet af de n kongruenser lader vi først
Mk = m
,
for k = 1, 2, . . . , n. Det vil altså sige, at Mk er produktet af alle mi’er
på nær mk. Da mi og mk (1 ≤ i, k ≤ n) er indbyrdes primiske har de
ingen fælles faktorer andre end 1 når i �= k, hvorfor der også må gælde at
sfd(mk, Mk) = 1. Fra sætning 3.13 ved vi, at der findes et heltal yk som
er en invers af Mk modulo mk, altså Mkyk ≡ 1 (mod mk). Vi danner nu
summen
x = a1M1y1 + a2M2y2 + . . . + anMnyn,
og viser dernæst, at denne sum er en løsning til systemet af kongruenser.
Det første vi lægger mærke til er, at da Mj ≡ 0 (mod mk) når j �= k, vil
alle led på nær det k’te i summen være kongruente med 0 modulo mk.
Da Mkyk ≡ 1 (mod mk) ser vi, at
mk
x ≡ akMkyk ≡ ak (mod mk),
for k = 1, 2, . . . , n. Dermed har vi vist, at x er en løsning til systemet
bestående af de n af kongruenser.
Entydigheden beviser vi på følgende vis: Vi antager, at der findes to
forskellige løsninger, x og y, som begge er løsninger til systemet af de n
kongruenser. Altså, at der for hvert i, (1 ≤ i ≤ n), findes x ≡ ai (mod mi)
og y ≡ ai (mod mi). Hvis vi kan vise, at disse løsninger er de samme
modulo m har vi godtgjort at der kun findes én løsning x med 0 ≤ x < m.