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76 3.2. RESTAURIERUNG EINZELNER INTENSITÄTSBILDER
Präzisierung der Faserposition Nun werden die Faserpositionen und charakteristi-
schen -eigenschaften an den ermittelten Kandidatenpixel präzisiert, indem die variable
Gauß-Funktion
2 (x − µx)
g(x, y; v) = a · exp −
2σ2 −
x
2 (y − µy)
2σ 2 y
(3.15)
mit dem Parametervektor v = [µx, µy, σx, σy, a] durch nichtlineare Optimierung an
die jeweilige Intensitätsverteilung in der lokalen Umgebung N angepasst wird. Als
Resultat dieses iterativen Schritts liegen folgende detaillierte Informationen über die
Gauß-Verteilung vor:
• Mittelwert µx,µy: Faserzentrum
• Varianz σx,σy: Breite der Lichtverteilung
• Amplitude a: Intensitätsmaximum
Für jedes Kandidatenpixel pkand,i wird Gleichung (3.15) mit der Pixelposition als Start-
wert für die Nachbarschaft N (pi) durch nichtlineare Optimierung des Least-Square
Problems 12 bezüglich des Parametervektors v angepasst:
v = argmin r(pkand,i, u)
u
mit
r(pkand,i, u) =
N (pkand,i)
g(x, y; u) − Î(x, y) 2
Das Residuum r wird iterativ nach der Levenberg-Marquardt Methode minimiert.
Falls die Optimierung innerhalb einer definierten Anzahl von Iterationen konvergiert,
wird der Mittelwert µx,µy als subpixelgenaues Faserzentrum, die Amplitude a als Refe-
renzwert für die Helligkeit, das verbleibende Residuum r als präzisierter Relevanzfak-
tor und die Varianz σx,σy als charakteristische Größe zur nachträglichen Modellierung
der lokalen Helligkeitsverteilung gespeichert. Kann die Optimierung für ein Kandi-
datenpixel nicht abgeschlossen werden, so verbleibt der grobe Schätzwert des block-
weisen Vergleichs als Relevanzfaktor, ebenso verbleibt die Faserposition, d.h. sie wird
pixelgenau übernommen und als Helligkeit wird ein Schätzwert aus den umliegenden
Bildpunkten ermittelt (vgl. Abschn. 3.2.2.2).
In der Anwendung der Interpolation hat sich gezeigt, dass die Varianz der Inten-
sitätsverteilung ohne Einschränkungen als symmetrisch betrachtet werden kann. Die
drate
12 Least-Square Problem: Näherung eines Gleichungssystems nach der Methode der kleinsten Qua-
.