Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

92 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale
liefert die Lösung für den Radialanteil:
√
2r
u(r) =
aJ l+
3 (a √ ε) J l+ 1 (r √ ε) (A.34)
2
2
Damit die Randbedingung u(a) =0erfüllt ist, muß also der Faktor a √ ε den Nullstellen der
Besselfunktionen Z (l+
1
)n entsprechen. Die Energieeigenwerte berechnen sich daher nach
2
Z (l+
1
2 )n = a√ ε
(
Z(l+ 1
2
ε =
)n
a
E nl = ~2
2ma 2 Z2 (l+ 1 )n.
(A.35)
2
Die Entartung ist σ nl =2n +1. Der Winkelanteil (nach [111]) ergibt sich zu
( 1
−
sinϑ ∂ ϑ(sin ϑ∂ ϑ )+ 1 )
sin 2 ϑ ∂ ϕϕ Yl
m = l(l +1)Yl m , (A.36)
mit l =0, 1,..., m = −l,... ,lund −i∂ ϕ Y m
l
) 2
= mYl
m . Man erhält damit
√
Yl
m (ϑ, ϕ) =(−1) n 2l +1(l − m)!
4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ , (A.37)
wobei es sich bei Pl
m um die Legendre-Polynome handelt. Die Wellenfunktion wird durch
Einsetzen der einzelnen Anteile
√
ψ nlm (r, ϑ, ϕ) =r
2r
aJ l+
3 (a √ ε) J l+ 1 2
2
(r √ ε)(−1) n √
N=100 N=1000 N=10000
2l +1(l − m)!
4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ .
(A.38)
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
0,560606 0,560606 0,120779 0,120779 0,026021 0,026021 1
1,146860 0,586253 0,247083 0,126305 0,053232 0,027211 3
1,886796 0,739936 0,406498 0,159415 0,087577 0,034345 5
2,242427 0,355631 0,483116 0,076618 0,104084 0,016507 1
2,773677 0,531250 0,597570 0,114454 0,128742 0,024658 7
A.4 Harte Hohlkugel
Das Potential einer Hohlkugel soll nur für Radien zwischen a 1 und a 2 , mit a 1