Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

88 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale
Wir betrachten die Bewegung eines Teilchens mit der Masse m in einem Potential, das in
kartesischen Koordinaten die Form
V (x, y, z) = 1 2 m ( ω 2 x x2 + ω 2 y y2 + ω 2 z z2)
(A.1)
hat. Der Hamilton-Operator setzt sich aus drei Teilen zusammen, die jeweils einen eindimensionalen
Oszillator beschreiben:
H = p2 x + p2 y + p2 z
+ V (x, y, z) (A.2)
2m
Zur Lösung der Eigenwertgleichung
Hψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z)
(A.3)
wird ein Separationsansatz verwendet, so daß sich für die Wellenfunktion
ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z)
(A.4)
ergibt. Durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung und Division durch ψ(x, y, z) erhält
man
1
X(x) H xX(x)+ 1
Y (y) H yY (y)+ 1
Z(z) H zZ(z) =E.
(A.5)
Diese Gleichung besteht aus drei Teilen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen.
Daher kann sie nur erfüllt werden, wenn jeder Term für sich konstant ist. Es bleiben also
drei unabhängige Teile der Eigenwertgleichung übrig,
H x X(x) =ε x X(x)
(A.6)
H y Y (y) =ε y Y (y)
(A.7)
H z Z(z) =(E − ε x − ε y )Z(z),
(A.8)
deren Lösungen zu den gesuchten Eigenfunktionen führen.
( mωx
) 1/4 exp ( − mωx
X nx (x) =
x2) (√ )
2~ mωx
√ H
~π 2
n nx xnx !
~ x (A.9)
Bei H nx (γ) handelt es sich um die Hermite-Polynome, die folgendermaßen definiert sind:
H nx (γ) =(−1) nx exp(γ 2 ) dnx
dγ nx exp(−γ2 )
(A.10)
Die Eigenfunktionen und Hermite-Polynome für den y- und z-Anteil folgen analog. Damit
erhält man für die Gesamtwellenfunktion
ψ nxn yn z
(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z)
(A.11)
und die Energieeigenwerte ergeben sich zu
(
E nxn yn z
= ~
(ω x n x + 1 ) (
+ ω y n y + 1 ) (
+ ω z n z + 1 ))
. (A.12)
2
2
2
Von nur einer Quantenzahl N hängen dagegen die Eigenwerte des isotropen, dreidimensionalen
Oszillators ab. Für diesen gilt ω = ω x = ω y = ω z und man erhält mit
N = n x + n y + n z
(
E N = ~ω N + 3 )
. (A.13)
2
Die Entartung der Energieeigenwerte ist σ N =(N +1)(N +2)/2.