Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

82 Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick
Die ermittelte kritische Temperatur lag unterhalb des experimentellen Wertes. Allerdings
verwundert dieses Ergebnis nicht, da eine kanonische Beschreibung die Eigenschaften der
Atome in der TOP-Falle zwar besser trifft als eine großkanonische, bisher aber keine Theorie
existiert, die den Übergangspunkt genau vorhersagt.
Die Zeitentwicklung eines freien Bose-Einstein-Kondensats mit Hilfe einer Beschreibung
als quantenmechanisch auseinanderfließendes Wellenpaket verdeutlichte die Wichtigkeit
der vorhandenen Wechselwirkungen, denn die Näherung als ideales Gas ermöglichte die
Separation der Gesamtwellenfunktion in Ein-Teilchen-Wellenfunktionen. Diese Vereinfachung
verursachte ein weitaus schnelleres Auseinanderdriften einer kondensierten Atomwolke
als es der Realität entspricht.
Zusammengefaßt läßt sich aus den hier vorgestellten Ergebnissen der Schluß ziehen, daß
die Rekursionsformel gut geeignet ist, um ideale Gase in unterschiedlichen Potentialen
zu beschreiben, um hieraus beispielsweise Optimierungen zukünftiger Fallentypen zu entwickeln,
da das grundsätzliche Verhalten von Atomen in einer Falle gut beschrieben werden
kann.
Die nicht in die Betrachtungen mit einbezogenen Wechselwirkungen verursachten jedoch
eine Verschiebung der explizit berechneten Größen, also beispielsweise der kritischen Temperatur
T c , der spezifischen Wärme C V oder der ortsabhängigen Teilchendichte ρ(r).
Zur genaueren Bestimmung dieser Werte sollte dementsprechend ein zusätzlicher Wechselwirkungsterm
in die Rekursionsformel eingefügt werden, der abhängig von der Temperatur,
der Energie eines Zustands und den Eigenschaften der betrachteten Atome ist. Es muß
also ein Faktor eingeführt werden, der beschreibt, ob es sich um anziehende oder abstoßende
Teilchen handelt. Weiterhin sollte der Einfluß dieser Korrekturfunktion davon abhängig
sein, ob sich bereits Teilchen in dem jeweiligen Zustand befinden.
Für eine weitere Verbesserung des Verfahrens wäre es vorteilhaft, daß die Rekursion die
Besetzungszahlen für eine feste Temperatur β liefert. Dadurch ist es möglich durch den
Kühlprozeß verursachte Veränderungen der Teilchenzahl N mit experimentellen Daten anzupassen,
also eine Funktion N(β) anzusetzen.
Eine mögliche neue Rekursionsformel würde also mit einem Wechselwirkungsterm f und
der Kopplungskonstante g wie folgt aussehen:
η i (N(β)+1,β)=
Z N(β)(β)
Z N(β)+1 (β) e−βɛ i
(η i (N(β),β)+1)f (η i (N(β),β),ɛ i ,g) (6.1)
Die Wechselwirkungsterme sollten auch in die Berechnung der Wellenfunktionen eingebunden
werden. Das heißt, daß nicht mehr die Schrödinger-, sondern die in Abschnitt 2.4
vorgestellte Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.75) gelöst werden muß. Hierzu existieren bereits
erfolgreich umgesetzte numerische Lösungsverfahren [35]. Da der nötige numerische
Aufwand jedoch bereits relativ groß ist, könnte als erster Schritt auch überprüft werden,
wie gut sich die tatsächlichen Eigenschaften eines kondensierenden Gases mit einer modifizierten
Rekursionsformel nähern lassen.
Die Simulation der Wolke nach dem Abschalten des Fallenpotentials ist aufwendiger,
da hier sicherlich die Viel-Teilchen-Wellenfunktion als Lösung der Gross-Pitaevskii-
Gleichung verwendet werden muß. Allerdings ist die Berechnung der Zeitentwicklung