Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A.2 Box 89
A.2 Box
Das Potential hat die Form einer Box mit den Kantenlängen L x , L y , L z , verschwindet innerhalb
dieses Bereichs und ist außerhalb unendlich. Der Ursprung des Koordinatensystems
befindet sich in einer Ecke des Kastens.
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in kartesischen Koordinaten lautet
( )
− ~2 ∂
2
2m ∂x + ∂2
2 ∂y + ∂2
ψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z). (A.14)
2 ∂z 2
Die Wellenfunktion muß an den Wänden und dahinter verschwinden.
ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z)
(A.15)
Für den Anteil in x-Richtung findet man für 0 ≤ x ≤ L x
− ~ d 2 X(x)
= E
2m dx 2 x X(x). (A.16)
Durch die Randbedingungen ist X(x) Null für x ≤ 0,x≥ L x . Aus dem eindimensionalen
Problem ist bekannt, daß die erlaubten Werte der x-Komponente von E durch
E nx = ~2
2m
π 2 n 2 x
, n
L 2 x =1, 2, 3,... (A.17)
x
gegeben sind. Die normalisierte Eigenfunktion wird durch stehende Wellen dargestellt:
( )
2 nx π
X nx (x) =√
sin x
(A.18)
L x L x
Für den Y (y)- und den Z(z) - Anteil sind die Lösungen analog. Die Gesamtwellenfunktion
ist also das Produkt der Einzellösungen und lautet mit V = L x L y L z
√ ( ) ( ) ( )
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ψ nxn yn z
(x, y, z) =
V sin nx π ny π nz π
x sin y sin z . (A.19)
L x L y L z
Für die Energieeigenwerte müssen die einzelnen Funktionen addiert werden, so daß
gilt.
E = E x + E y + E z
(
E nxn yn z
= ~2 π 2 n
2
x
+ n2 y
2m L 2 x L 2 y
)
+ n2 z
L 2 z
a : L =1:4
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
1,121243 1,121243 0,241564 0,241564 0,052043 0,052043 1
1,223174 0,101931 0,263525 0,021961 0,056774 0,004731 1
1,393060 0,169886 0,300125 0,036600 0,064660 0,007885 1
1,630899 0,237839 0,351366 0,051241 0,075699 0,011039 1
1,936693 0,305794 0,417247 0,065881 0,089893 0,014194 1
(A.20)