Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

22 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
wobei φ(r,t) der Erwartungswert des Feldoperators ist und die Bedeutung eines Ordnungsparameters
trägt. Die Funktion wird oft auch als Wellenfunktion des Kondensats, die einem
klassischen Feld mit gegebener Amplitude und Phase entspricht, bezeichnet.
Soll eine Gleichung für diese Wellenfunktion gefunden werden, muß mit Hilfe des
Hamilton-Operators (2.65) die Zeitentwicklung des Feldoperators
i~ ∂ t ˆΨ(r,t)=
〈
[ ˆΨ(r,t), Ĥ] 〉
=
(− ~2
2m ∆+V ext(r)+
∫
)
dr ′ ˆΨ+ (r ′ ,t) V (r ′ − r) ˆΨ(r ′ ,t) ˆΨ(r,t) (2.72)
ermittelt werden. Nimmt man weiterhin an, daß es sich bei den Atomen um klassische
Feldquellen handelt (Born-Näherung), darf der Feldoperator ˆΨ(r,t) durch das klassische
Feld φ(r,t) ersetzt und die Kopplungskonstante
∫
g = dr V (r) (2.73)
eingeführt werden. Diese wird dann durch die s-Wellen-Streulänge a ausgedrückt, so daß
man
g = 4π~2 a
(2.74)
m
erhält. Die s-Wellen-Streulänge ist für abstoßende Teilchen positiv und für anziehende
Kräfte negativ. Nimmt man weiter an, daß die Änderung der Wellenfunktion in der Größenordnung
der Reichweite des Potentials liegt, erhält man folgende Gleichung:
)
i~ ∂ t φ(r,t)=
(− ~2
2m ∆+V ext(r)+g|φ(r,t)| 2 φ(r,t). (2.75)
Da es möglich ist, die Kopplungskonstante g durch die s-Wellen-Streulänge auszudrücken,
gilt Gleichung (2.75) auch außerhalb der Born-Näherung. Der Grund dafür ist, daß die
durchschnittliche Streulänge in einem dünnen Gas viel kleiner als der mittlere Abstand der
Atome ist. Somit können alle Wechselwirkungsprozesse, unabhängig von der Form des
Zwei-Teilchen Potentials, mit Hilfe von a beschrieben werden. E.P. Gross und L.P. Pitaevskii
entwickelten die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (2.75), die daher heute unter dem
Namen Gross-Pitaevskii-Gleichung bekannt ist, unabhängig voneinander [53, 54, 106].
Aufgrund der Annahme, daß die Störung ˆΨ ′ (r,t) verschwindet, gilt die hier aufgezeigte
Beschreibung streng genommen nur für den Fall T = 0, wenn sich also alle Teilchen
im Grundzustand befinden. Da allerdings unterhalb der kritischen Temperatur T c nahezu
alle Teilchen kondensiert sind, bietet die Gross-Pitaevskii-Gleichung eine gut geeignete
Näherung eines realen Systems und liefert Ergebnisse, die gut mit den experimentellen
Daten übereinstimmen.
Numerische Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung können relativ leicht gefunden werden,
so daß es nicht verwundert, daß bereits verschiedene Veröffentlichungen mit unterschiedlichen
Ansätzen existieren [31, 38, 68]. Die Ergebnisse dieser Arbeiten stimmen
ebenfalls mit Monte-Carlo-Simulationen, die von dem oben angegebenen Viel-Teilchen-
Hamilton-Operator (2.65) ausgehen, überein [80].