Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A.3 Harte Kugel 91
in Kugelkoordinaten zu lösen.
Hψ(r, ϑ, ϕ) =
(− ~2
2m ∆+V (r) )
ψ(r, ϑ, ϕ) =Eψ(r, ϑ, ϕ)
(A.23)
∆ψ(r, ϑ, ϕ) = 1 r ∂ r(r 2 ∂ 2 r ψ(r, ϑ, ϕ))
+ 1
r 2 sin ϑ ∂ 1
ϑ(sin ϑ∂ ϑ ψ(r, ϑ, ϕ)) +
r 2 sin 2 ϑ ∂ ϑϑψ(r, ϑ, ϕ) (A.24)
Die Separation der Differentialgleichung führt zu einem Radial- und einem Winkelanteil.
ψ(r, ϑ, ϕ) =R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) =R(r)Y m
l (ϑ, ϕ) (A.25)
Daher ergibt sich mit ε =2mE/~ 2 und u(r) =rR für den Radialanteil
(
− ε − 1 ( ( )))
1 1
r 2 sin ϑ Θ(ϑ) ∂ 1
ϑ(sin ϑ∂ ϑ Θ(ϑ)) +
Φ(ϕ)sinϑ ∂ ϑϑΦ(ϕ) u(r) =∂ rr u(r)
(A.26)
Mit l(l +1)für den von r unabhängigen Teil ergibt sich
( )
l(l +1)
− ε − u(r) =∂
r 2 rr u(r).
(A.27)
Die Lösung des Radialanteils lautet dann nach [50]
√
u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ √
ε)+c 2 rNl+ 1 (r √ ε), (A.28)
2
2
wobei J l+
1 und N
2 l+
1 die halbzahligen Besselfunktionen der ersten und zweiten Art sind.
2
Einsetzen der Nebenbedingung u(0) = 0 erzwingt, daß c 2 verschwinden muß, da N l+
1 (0)
2
gegen unendlich strebt, und wir erhalten
Die Normierung für den Radialanteil lautet
√
u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ ε). (A.29)
2
∫ a
0
dr r 2 |R| 2 =1
(A.30)
und wird mit der obigen Definition von u(r) zu
∫ a
0
dr |u(r)| 2 =1.
(A.31)
Auflösen nach c 1 ,
∫ a
dr rJ 2 (r √ ε)= 1 (A.32)
l+ 1 2
0
c 2 1
√
2
c 1 =
(a √ ε) , (A.33)
aJ l+
3
2