Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

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Rekursionsformeln
zur Berechnung
der Zustandssumme
Sowohl in den meisten Lehrbüchern als auch in Abschnitt 2.2 wird das Phänomen der Bose-
Einstein-Kondensation mit dem großkanonischen Ensemble beschrieben (siehe 2.1.3). Wie
bereits erklärt, unterscheidet sich die experimentelle Situation in vielerlei Hinsicht von den
Voraussetzungen eines mit der großkanonischen Gesamtheit beschriebenen idealen Gases,
da die Anzahl der Teilchen in der Atomwolke endlich und konstant ist.
Weiterhin beeinflussen die Fallenpotentiale die Eigenschaften der Kondensate. Obwohl die
Gaswolken sehr dünn sind, muß überprüft werden, ob die Beschreibung als ideales Gas
richtig ist.
Aus diesen Gründen bietet sich eine mikrokanonische oder kanonische Beschreibung an.
Eine der wichtigen Fragen, die eine Theorie zur Beschreibung eines idealen Bose-Gases
zu beantworten hat, ist die nach dem Verhalten der Fluktuation der Besetzungszahl des
Grundzustandes δη 0 (N,β), da diese Fluktuationen eine große Rolle in den aktuellen Experimenten,
das heißt bei endlichen Temperaturen, spielen. In der großkanonischen Beschreibung,
also wenn das System in der Lage ist, Energie und Teilchen mit einem Reservoir
auszutauschen, ergibt sich für die durchschnittlich erwartete Grundzustandsfluktuation
δη 0 = √ η 0 (η 0 +1), (3.1)
die allerdings gegen N strebt, wenn die Temperatur gegen Null geht. Offensichtlich kann
ein reales Bose-Einstein-Kondensat in einer Falle aber keine Energie oder Teilchen mit
einem Reservoir austauschen, so daß die Fluktuationen in der Nähe von T = 0 in der mikrokanonischen
oder kanonischen Beschreibung verschwinden müssen.
Es existieren bereits Ansätze einer mikrokanonischen Erklärung für isotrope harmonische
Fallen von Gajda [47] und Grossmann [55], die dieses Verhalten bestätigen. In diesem
Kapitel soll gezeigt werden, daß äquivalente Ergebnisse auch mit Hilfe der kanonischen
Gesamtheit erreicht werden können.
3.1 Ein älterer Ansatz
Sämtliche thermodynamischen Eigenschaften eines Bose-Gases aus N Teilchen sind nach
[14] durch die Zustandssumme
Z N (β) = 1 N
N∑
Q k (β) Z N−k (β) (3.2)
k=1
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