Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

20 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
gegenüber anderen Atomen gibt es dennoch, denn durch die anziehende Wechselwirkung
ist die maximale Anzahl von Teilchen in einer Falle auf etwa 1400 begrenzt [17,35,83,90].
Sehr wichtig bei der Betrachtung der Wechselwirkungen in einer Atomwolke ist die Tatsache,
daß es sich um inhomogene Systeme endlicher Größe handelt. Die Zahl der Atome
in den Fallen, deren Potential sich in der Regel gut durch ein anisotropes harmonisches
Oszillatorpotential,
V ext (x, y, z) = m 2
(
ω
2
x x 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) , (2.60)
annähern läßt, variiert typischerweise von einigen Tausenden bis zu mehreren Millionen.
Vernachlässigt man die Wechselwirkungen, ist der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator die
Summe der Ein-Teilchen-Operatoren, und die Eigenwerte haben die in Anhang A.1 angegebene
Form. In einem Kondensat befinden sich nahezu alle Teilchen im Grundzustand,
dessen Wellenfunktion dann durch
( mωho
) 3/4 (
ψ 0 (x, y, z) =
exp − m (
ωx x 2 + ω y y 2 + ω z z 2)) (2.61)
π~
2~
gegeben ist. In dieser Gleichung wird das geometrische Mittel der Oszillatorfrequenzen
ω ho =(ω x ω y ω z ) 1/3 (2.62)
eingeführt, das in den meisten Artikeln verwendet wird. Die Dichteverteilung ist folglich
(mit r =(x, y, z))
ρ(r) =N|ψ 0 (r)| 2 (2.63)
und schwankt, wenn die Wechselwirkungen einbezogen werden, innerhalb der Wolken in
der räumlichen Größenordnung des harmonischen Potentials
a ho =
√
~
mω ho
, (2.64)
die einigen Mikrometern entspricht. Da Rubidium- und Natrium-Atome sich abstoßen,
wird dieser Effekt sogar noch vergrößert. Die Größe a ho bestimmt ebenfalls den Durchmesser
der kondensierten Wolke und ist unabhängig von der Teilchenzahl. In der Praxis
befinden sich allerdings immer einige Teilchen in höher angeregten Zuständen und verursachen
damit eine Vergrößerung der Ortsverteilung.
Aufgrund der geringen Dichte der Gase sind Zwei-Körper-Stöße die einzigen nennenswerten
Stoßprozesse. Diese können allerdings die Anzahl der Teilchen, die sich unterhalb der
kritischen Temperatur im Zentrum der Falle befinden, um bis zu zwei Größenordnungen
verringern [30].
Der am häufigsten verwendete Ansatz zur Beschreibung eines schwach wechselwirkenden
Bosonengases ist die Gross-Pitaevskii Theorie [53, 54, 106], die im folgenden Abschnitt
eingeführt werden soll. Oberhalb der kritischen Temperatur kann ein reales Bose-Gas gut
durch die in den vorherigen Kapiteln angegebenen quantenstatistischen Ensembles genähert
werden [9,59], da die Dichte im Zentrum der Falle erst bei der Kondensation ansteigt.