Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

3.3 Anwendung auf Helium 29
3.3 Anwendung auf Helium
Die bisher erzeugten Bose-Einstein-Kondensate entstanden in magneto-optischen Fallen,
den sogenannten MOTs (siehe Abschnitt 4.7). Wie bereits erwähnt, lassen sie sich gut mit
einem dreidimensionalen, anisotropen harmonischen Oszillatorpotential nähern, da sich
die Teilchen in der Regel in einem Magnetfeld befinden, dessen Feldstärke im Zentrum
sehr klein ist und nach außen hin quadratisch anwächst. Es ist aber auch denkbar, daß eine
Atomfalle eine andere Form hat, die feste Randbedingungen voraussetzt.
In diesem Kapitel soll das in Abschnitt 3 eingeführte Rekursionsprinzip für das kanonische
Ensemble benutzt werden, um thermodynamische Eigenschaften von idealen Bose-Gasen
in verschiedenen Fallenpotentialen zu berechnen. Dazu werden die Energieeigenwerte in
den einzelnen Potentialen berechnet und dann daraus mit Hilfe der Rekursion (3.21) für die
Besetzungszahl η i (N,β) der Erwartungswert der Energie (3.23) bei verschiedenen Temperaturen
bestimmt. Die Ableitung der Energie nach der Temperatur liefert dann die spezifische
Wärme C V , deren Maximum die kritische Temperatur T c angibt, bei der die Kondensation
des Systems in den Grundzustand beginnt. Da sich das als ideal angenommene 4 He
Gas in einem Potential befindet, strebt die spezifische Wärme am Phasenübergangspunkt
nicht gegen unendlich, sondern hat lediglich ein Maximum.
Im Anschluß soll dann eine Betrachtung der Grundzustandsfluktuationen δη 0 (N,β) folgen,
um genauer auf die Unterschiede der einzelnen Fallen einzugehen.
Bei den betrachteten Potentialen handelt es sich um verschiedene harte Kugeln, Boxen und
Zylinder, wobei die Herleitung der zugehörigen Energieeigenwerte in Anhang A nachvollzogen
werden kann. Das Potential, in dem sich ein Teilchen mit der Masse m bewegt,
verschwindet jeweils innerhalb des Körpers und ist außerhalb unendlich.
In den hypothetischen Fallen befindet sich flüssiges 4 He mit einer Masse von m = 4u und
der Dichte ρ = 0,0216Å −3 . Das Volumen V eines hier berechneten Körpers ist durch die
Dichte und die Teilchenzahl N festgelegt, so daß daraus in Abhängigkeit von der Form der
Potentiale die Durchmesser d, Höhen L oder Kantenlängen a bestimmt werden können.
Für die Box und die Zylinder werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische
Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird grundsätzlich von einer quadratischen
Grundfläche mit Kantenlänge L x = L y = a und Höhe L z = L ausgegangen. Ähnliches gilt
für den Zylinder, dem statt einer Kantenlänge ein Durchmesser d zugewiesen wird. Die
Hohlkugel und der Hohlzylinder erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis
aus Außen- und Innenradius angibt.
Berechnet werden also die thermodynamischen Eigenschaften eines idealen Bose-Gases
in einer Kugel, einem Würfel, einem Quader mit einem Verhältnis der Kantenlänge a zur
Höhe L von 1:4 und 4:1 und Zylindern mit entsprechenden Verhältnissen für Durchmesser
d und Höhe L. Weiterhin werden drei Zylinder mit periodischen Randbedingungen
und zu den anderen Zylindern identischen Abmessungen betrachtet. Periodische Randbedingungen
bedeuten, daß die Wellenfunktionen an den Enden des Zylinders ineinander
übergehen, und es muß überprüft werden, ob beispielsweise eine torusförmige Falle oder
eine Falle mit “Optical Plug” (siehe Kapitel 4) besser durch ein solches Potential als durch
einen Hohlkörper genähert werden kann. Weiterhin werden Hohlkugeln und Hohlzylinder
mit Verhältnissen von Innen- zu Außenradius λ von 0,75 und 0,9 angenommen. Zur Ver-