Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

64 Kapitel 5. Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle
5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle
Unterhalb der kritischen Temperatur T c sammeln sich die Atome im Grundzustand, wodurch
die Dichte im Zentrum der Falle sehr stark ansteigt. Im folgenden soll die Dichte
in Abhängigkeit des Ortes und der Temperatur mit Hilfe der Quantenmechanik ermittelt
werden. Dazu geht man von der Wellenfunktion eines Teilchens im harmonischen Oszillatorpotential
der TOP- Trap (5.1)
ψ nxn yn z
(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z) (5.6)
(siehe (A.11)) aus, wobei
X nx (x) =
( mωx
~π
) 1/4 exp ( − mωx x2) (√ )
2~ mωx
√ H 2
n nx xnx !
~ x
(5.7)
ist und Y ny (y) und Z nz (z) analog folgen. Bei H nx ((mω x /~) 1/2 x) handelt es sich um die
Hermite-Polynome.
Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens an einem bestimmten
Ort für einen gegebenen Zustand ergibt sich durch Quadrierung des Betrages
von (5.6). Durch Multiplikation mit der durch die Rekursionsformel (3.21) bestimmten
Besetzungszahl eines Zustandes η(n x ,n y ,n z ) erhält man die Anzahl Atome, die sich an einem
Ort im jeweiligen Zustand befinden. Nun muß nur noch über alle Zustände summiert
werden, um zur absoluten Dichte am Ort (x,y,z) zu gelangen:
ρ abs (x, y, z) =
∑
η(n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z
(x, y, z)| 2 (5.8)
n x,n y,n z
Führt man die relative Besetzungszahl
η rel (n x ,n y ,n z )=η(n x ,n y ,n z )/N (5.9)
ein und setzt den konstanten Vorfaktor
( mωx
) 1/4
(5.10)
~π
in Gleichung (5.7) auf den Wert Eins, so ergibt sich mit dem geometrischen Mittel der
Oszillatorfrequenzen ω ho für die Dichte
ρ(x, y, z) =
∑
η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho
(x 2 + y 2 + z 2 ) )
~
2 nx+ny+nz n
n x ! n y ! n z !
x,n y,n z
(√ ) (√ ) (√ )
·Hn 2 mωx
x
~ x Hn 2 mωy
y
~ y Hn 2 mωz
z
~ z , (5.11)
und das Maximum ist ebenfalls auf eins normiert. Tatsächlich ermöglicht diese Umformung
einen direkten Vergleich der Resultate in Abhängigkeit von der Teilchenzahl, wie es in
dieser Arbeit geschehen soll.
Auf diese Weise berechnet das Programm howave.f die Dichteverteilung für eine gegebene
Temperatur T . Zur besseren Darstellung der Daten wird die z-Koordinate auf den Wert