Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

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66 Kapitel 5. Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle Der Ursprung wird in das Zentrum der Falle gelegt, und die Berechnungen der Dichte werden für einen Abstand von 5µminx- und y-Richtung durchgeführt. Für die oben angegebenen Teilchenzahlen sind die Ergebnisse in Abbildung 5.2 bis 5.5 zu sehen. Die Darstellung der Dichte erfolgt sowohl linear als auch logarithmisch, denn während die linearen Grafiken die Ausbildung eines Peaks im Zentrum besser zeigen, wird durch die logarithmischen Diagramme klar, daß das Integral über die Verteilungen immer gleich bleiben muß, da die Teilchenzahl N konstant ist. Aufgrund der Symmetrie um den Ursprung ist es ausreichend, die Dichte ρ(x, y, 0) nur für einen Quadranten zu ermitteln und die entsprechenden Werte in die übrigen Raumbereiche zu übertragen. Die berechneten Stützpunkte der Grafiken haben einen Abstand von jeweils 0,025µm, so daß insgesamt 160000 Punkte pro Bild ermittelt werden. Leider können in der Papierversion dieser Arbeit bei weitem nicht alle Bilder, sondern nur eine begrenzte Auswahl gezeigt werden. Auf der beiliegenden CD-Rom befinden sich allerdings zum einen die übrigen Diagramme und zum anderen einige Animationen, die die Änderung der Dichte in Abhängigkeit von der Temperatur zeigen. Die große Zahl der auf der CD-Rom befindlichen Bilder ergibt sich aus der für die Erstellung dieser “Filme” nötigen Menge, um einen flüssigen Verlauf zu erhalten. 2 Die Ergebnisse zeigen sehr deutlich, daß die Dichte innerhalb des harmonischen Potentials oberhalb der in Tabelle 5.2 angegebenen kritischen Temperaturen gleichförmig ist, also einer thermischen Verteilung entspricht. Für angeregte Zustände sind die Hermite- Polynome nicht konstant, sondern entwickeln an den Rändern des Potentials einen Peak und schwingen in der Nähe des Ursprungs nur mit geringer Amplitude. Die Maxima dieser Wellenfunktionen befinden sich für hohe Quantenzahlen weiter außen als für niedrige. Daher ergibt sich für Temperaturen oberhalb von T c eine gleichförmige räumliche Verteilung, denn auch höhere Zustände sind besetzt. Bei Eintritt der Kondensation bildet sich im Zentrum der Falle ein Peak in der Dichteverteilung aus, der die Form einer Gaußschen Glockenfunktion hat. Die Ursache dafür liegt in der Form der Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators, die eben genau dieser Funktion entspricht. Da dieser Zustand der einzige makroskopisch besetzte ist, heben sich die Auswirkungen dieses Niveaus von den anderen ab. Aufgrund der nötigen Beschränkung der Anzahl dargestellter Bilder werden die Dichteverteilungen nur für jeweils vier unterschiedliche Temperaturen pro Teilchenzahl abgedruckt. Jede Serie enthält ein Bild für eine Temperatur von 1,0·10 −8 K, um einen direkten Vergleich zu ermöglichen. Die linearen Darstellungen lassen sich kaum unterscheiden, denn es scheint als seien bereits alle Teilchen kondensiert. Anders sieht es aus, wenn man die logarithmischen Grafiken betrachtet. Hier ist deutlich zu erkennen, daß sich bei größeren Teilchenzahlen bereits ein höherer Anteil der Atome im Kondensat befindet als bei kleineren. Die Erklärung hierfür ist in der kritischen Temperatur zu finden, welche für größere Teilchenzahlen höher liegt und damit für ein früheres Einsetzen der Kondensation sorgt. Hieraus resultiert die Wahl der übrigen Bilder, denn es werden jeweils ein Wert aus der Nähe der kritischen Temperatur und unterschiedlich verteilte Zwischenwerte gewählt. Für 2000 Teilchen zeigt Abbildung 5.2 eine Grafik für eine Temperatur, die bereits am 2 Siehe auch Anhang E.
5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle 67 Limit der numerischen Berechenbarkeit liegt. Bei 3,0·10 −9 K befinden sich tatsächlich nahezu alle Teilchen im Grundzustand. Dieses ist zu erkennen, weil die logarithmische Dichteverteilung besonders steil abfällt und nicht einmal mehr die ellipsenförmige Form der Rubidiumwolke zeigt. Abbildung 5.3 und 5.4 zeigen die Ergebnisse für 10000 und 20000 Teilchen. Die Temperaturen sind hier identisch gewählt, um einen Vergleich für zwei unterschiedliche Teilchenzahlen über den gesamten Temperaturbereich zu ermöglichen. Erwartungsgemäß ähneln sich die Bilder für 1,0·10 −8 K sehr, doch für anwachsende Temperaturen fällt die Dichte im Zentrum einer Falle mit 10000 Teilchen schneller ab. Durch die Einführung der in diesem Kapitel genutzten Normierung der Dichte muß hier noch einmal betont werden, daß die Anzahl der Teilchen, die sich tatsächlich im Zentrum der Falle befinden, natürlich von der Gesamtteilchenzahl abhängig ist.
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Literaturverzeichnis [1] C.S. Adams
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LITERATURVERZEICHNIS 129 [31] F. Da
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LITERATURVERZEICHNIS 133 [99] T. Pa
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