Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

8 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
Führt man die Fugazität
z = e βµ (2.17)
ein, so läßt sich die großkanonische Zustandssumme als Polynom in z schreiben:
Ξ z (β,V )=
∞∑
z N Z N (β,V ) (2.18)
N=0
Man erhält mit dem Erwartungswert der Teilchenzahl
〈
ˆN〉
= 1 β ∂β,V µ ln Ξ µ (β,V )=z∂ β,V
z ln Ξ(β,V ) (2.19)
die innere Energie
〈 〉
U = −∂ µ,V
β
ln Ξ µ (β,V )+µ ˆN = −∂ z,V
β
ln Ξ z (β,V ). (2.20)
Im großkanonischen Ensemble übernimmt das dazugehörige großkanonische Potential J
die Bedeutung, die die freie Energie im kanonischen und die Entropie in der mikrokanonischen
Gesamtheit haben:
J(β,V,µ)=− 1 β ln Ξ µ(β,V )=−pV, (2.21)
wobei p den Druck bezeichnet. Die großkanonische Zustandssumme läßt sich dadurch auch
anders schreiben:
Ξ µ (β,V )=e −βJ(β,V,µ) . (2.22)
Betrachtet man den Spezialfall eines dünnen Gases aus nicht wechselwirkenden Bosonen,
ist die Gesamtenergie
E(N) = ∑ i
ɛ i η i (2.23)
aus den Energien ɛ i der Einteilchenzustände und ihren Besetzungszahlen η i zusammengesetzt.
Weiterhin müssen die Besetzungszahlen der Bedingung ∑ i η i = N folgen. Dadurch
wird die großkanonische Zustandssumme für das ideale Bose-Gas zu
Ξ µ (β,V )=
=
∞∑
N=0
∞∑
N=0
∑
P{η i }
ηi =N
∑
P{η i }
ηi =N
z N e −βP i ɛ iη i
(2.24)
∏ (
ze
−βɛ i
) ηi
, (2.25)
i