Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A.6 Zylinder mit periodischen Randbedingungen 97
Einsetzen von z =0und z = L ergibt
w(0) = A
w(L) =Ae ±√ ε−c 1 L
(A.68)
(A.69)
Die Ergebnisse für w(0) und w(L) können nur gleich sein, wenn die Exponentialfunktion
in Gleichung (A.69) eins wird. Dies ist der Fall, wenn der Exponent ein ganzzahliges
Vielfaches von 2πi ist. Das bedeutet, daß die Wurzel mit k =0, 1, 2,... durch 2πk/L
ausgedrückt werden kann. Man erhält also
und aus der Normierungsbedingung folgt
2πk
±i
w(z) =Ae L z (A.70)
w(z) = √ 1 2πk
±i
e L z (A.71)
L
Analog zu den Rechnungen zum einfachen Zylinder wissen wir, daß
2πk
L
= √
2mE
~ 2 − c 1 (A.72)
ist. Durch Auflösen nach der Energie und einsetzen der Beziehung (A.60) ergeben sich die
Energieeigenwerte des Zylinders mit periodischen Randbedingungen zu
und man erhält für die Wellenfunktion
ψ nlk (r, ϑ, z) =
( ( ) )
E nlk = ~2 Zln
2 2 2πk
2m a + 2 L
1
(
a √ LJ l+1 (Z ln ) J r
)
l Z ln
a
(A.73)
e ±ilϕ e ± i2πk
L z . (A.74)
d : L =1:1
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
0,797748 0,797748 0,171869 0,171869 0,037028 0,037028 1
1,460092 0,662344 0,314567 0,142698 0,067771 0,030743 2
1,899652 0,439560 0,409267 0,094700 0,088174 0,020403 1
2,330385 0,430733 0,502066 0,092799 0,108166 0,019992 2
2,561996 0,231611 0,551965 0,049899 0,118917 0,010751 2