Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A.4 Harte Hohlkugel 93
u(a 1 )=0und u(a 2 )=0gelten. Der Winkelanteil lautet wie im vorherigen Abschnitt und
die Lösung des Radialanteils ist gegeben durch (A.28). Durch die veränderte erste Randbedingung
muß der zweite Teil dieser Gleichung bei der Hohlkugel nicht verschwinden,
sodaß sich durch Einsetzen von u(a 1 )=0
ergibt. Für u(r) folgt damit
u(r) =c 1
√ r
(J l+
1
2
√
J l+
1 (a 1 ε)
2
c 2 = −c 1
N l+
1
2
(r √ ε) − J √
l+ 1 (a 1 ε)
2
(a 1
√ ε)
(A.39)
N l+
1
2
(a 1
√ ε)
N l+
1
2
)
(r √ ε) . (A.40)
Die zweite Randbedingung u(a 2 )=0führt zu einer transzendenten Gleichung, die sich
numerisch lösen läßt:
J l+
1
2
(a 2
√ ε)Nl+ 1
2
(a 1
√ ε) − Jl+ 1
2
Eine Vereinfachung stellt die Substitution λ = a 1 /a 2 dar, wenn
√ √
(a 1 ε)Nl+ 1 (a 2 ε)=0 (A.41)
2
X (l+
1
2 )n = a √
2 ε
die Lösungen der transzendenten Gleichung sind, die damit wie folgt aussieht:
(A.42)
J l+
1 (X
2 (l+
1
)n)N l+ 1 (λX
2 2 (l+
1
)n) − J l+ 1 (λX
2 2 (l+
1
)n)N l+ 1 (X
2 2 (l+
1
)n) =0 (A.43)
2
Die Energieeigenwerte ergeben sich analog zu (A.35) zu
E nl = ~2
X 2
2ma 2 (l+ 1 )n. 2
2
(A.44)
Für die Wellenfunktion ist es nötig, c 1 zu finden, indem u(r) normiert wird. Dazu ist die
Gleichung
c 2 2
∫ a 2
a 1
dr r
⎛
⎝J l+
1
2
(
r X )
(l+ 1 2 )n
−
a 2
J l+
1
2
N l+
1
2
(
)
λX (l+
1
2 )n
( )N l+
1
2
λX (l+
1
2 )n
(
r X (l+ 1 2 )n
a 2
zu lösen. Dieses wird erschwert, da sie von der Variablen λ abhängt.
) ⎞ ⎠
2
=1 (A.45)
λ = 0,75
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
8,969709 8,969709 1.932465 1,932465 0,416337 0,416337 1
9,119279 0,149570 1.964689 0,032224 0,423279 0,006942 3
9,418366 0,299087 2.029125 0,064436 0,437161 0,013882 5
9,866863 0,448497 2.125751 0,096626 0,457979 0,020818 7
10,464609 0,597746 2.254531 0,128780 0,485724 0,027745 9