Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

98 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale
d : L =1:4
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
1,142505 1,142505 0,246145 0,246145 0,053030 0,053030 1
1,316044 0,173539 0,283533 0,037388 0,061085 0,008055 1
1,605276 0,289232 0,345846 0,062313 0,074510 0,013425 1
2,010200 0,404924 0,433084 0,087238 0,093305 0,018795 1
2,530817 0,520617 0,545248 0,112163 0,117470 0,024165 1
d : L =4:1
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
2,503041 2,503041 0,539263 0,539263 0,116180 0,116180 1
2,765892 0,262851 0,595893 0,056630 0,128381 0,012201 2
3,111268 0,345376 0,670302 0,074409 0,144412 0,016031 2
3,232275 0,121007 0,696372 0,026070 0,150028 0,005616 1
3,534601 0,302326 0,761506 0,065134 0,164061 0,014033 2
A.7 Hohlzylinder
Der Hohlzylinder stellt ein Potential dar, das sich von dem des einfachen Zylinders nur
dadurch unterscheidet, daß es nur für Radien, die nicht kleiner als der innere Radius a 1
oder größer als der äußere Radius a 2 sind, nicht unendlich ist. Die z− und ϕ−Anteile
der Wellenfunktion können aus dem vorherigen Abschnitt übernommen werden, sodaß nur
noch der Radialanteil betrachtet werden muß, dessen Lösung in (A.58) gegeben ist. Wie
bei der Hohlkugel darf auch hier der zweite Teil der Gleichung nicht verschwinden, sodaß
sich
u(r) =C 1 J l (r √ c 1 )+C 2 N l (r √ c 1 )
(A.75)
ergibt. Einsetzen der Randbedingung u(a 1 )=0liefert
C 2 = −C 1
J l (a 1
√
c1 )
N l (a 1
√
c1 )
(A.76)
und es gilt für den Radialanteil
(
u(r) =C 1 J l (r √ c 1 ) − J √ )
l(a 1 c1 )
√
N l (a 1 c1 ) N √
l(a 2 c1 ) . (A.77)
Mit der zweiten Randbedingung u(a 2 )=0folgt die transzendente Gleichung
J l (a 2
√
c1 )N l (a 1
√
c1 ) − J l (a 1
√
c1 )N l (a 2
√
c1 )=0.
(A.78)