Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

90 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale
a : L =4:1
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
1,541103 1,541103 0,332020 0,332020 0,071531 0,071531 1
1,797954 0,256851 0,387357 0,055337 0,083453 0,011922 2
2,054804 0,256850 0,442694 0,055337 0,095375 0,011922 1
2,226038 0,171234 0,479585 0,036891 0,103323 0,007948 2
2,482889 0,256851 0,534922 0,055337 0,115245 0,011922 2
A.2.1
Spezialfall Würfel
Für den Spezialfall eines Kastens mit gleichen Kantenlängen lauten die Energieeigenwerte
π 2
E n = ~2
2m L 2 n2 , n 2 = n 2 x + n2 y + n2 z . (A.21)
Im Grundzustand gelten n x = n y = n z =1und n 2 =3.Darausergibtsichfürdenersten
Eigenwert
E 0 = 3~2 π 2
2m L . 2
(A.22)
Für den ersten angeregten Zustand gilt bereits E =2E 0 .Esistn 2 =6und der Zustand
ist bereits dreifach entartet. Es ist möglich, über drei verschiedene Kombinationen der
n x ,n y ,n z zu diesem Wert zu gelangen.
a : L =1:1
N=100 N=1000 N=10000
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n
0,647222 0,647222 0,139439 0,139440 0,030041 0,030041 1
1,294445 0,647223 0,278879 0,139440 0,060082 0,030041 3
1,941668 0,647223 0,418319 0,139440 0,090124 0,030042 3
2,373150 0,431482 0,511279 0,092960 0,110151 0,020027 3
2,588891 0,215741 0,557759 0,046480 0,120165 0,010014 1
A.3 Harte Kugel
Das Potential soll innerhalb einer Kugel mit Radius a verschwinden und außerhalb unendlich
groß sein. Für die Lösung des Problems ist es vorteilhaft, die Schrödinger-Gleichung