Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

72 Kapitel 5. Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle
5.4 Zeitliche Entwicklung eines Bose-Einstein Kondensats
bei abgeschaltetem externen Potential
Die Teilchendichte innerhalb der Falle wird gemessen, indem das Fallenpotential nach dem
Kühlungsprozeß abgeschaltet wird. Dadurch kann sich die Atomwolke frei ausdehnen, das
heißt, jedes Teilchen für sich kann, wenn man Wechselwirkungen ausschließt, als freies
Teilchen betrachtet werden. Die Annahme eines freien Teilchens wird dadurch unterstützt,
daß ein Feld von geringer Größe angelegt ist, daß der Gravitation entgegen wirkt, um eventuelle
Störungen zu vermindern. Nach einer festgelegten Zeit wird mit einem Laserstrahl
und einer hinter dem Kondensat angebrachten CCD-Kamera die Absorption der Wolke
und damit die ortsabhängige Dichte bestimmt. Durch die hohe Energie, die dadurch auf die
Atomwolke übertragen wird, wird das Bose-Einstein-Kondensat zerstört. Es kann also nur
ein Bild pro Kühlungsprozeß aufgenommen werden. Um trotzdem eine Folge von Bildern
zu erhalten, werden die Aufnahmen jeweils nach unterschiedlich langer Ausdehnungszeit
aufgenommen. Das ist möglich, da die Anzahl Teilchen in der Falle und die genaue Größe
des Potentials sehr gut reproduziert werden können. Weiterhin kann das Potential nach
unterschiedlich weit fortgeschrittenem Kühlungsprozeß abgeschaltet werden.
Genau dieses Verfahren soll im folgenden simuliert werden. Dazu wird die in der vorangegangenen
Berechnung der Dichte benutzte Wellenfunktion (5.6) zeitentwickelt, wofür die
ortsabhängige Wellenfunktion mit Hilfe einer Fouriertransformation in den Impulsraum
überführt wird. Die Fouriertransformation ist mit r =(x, y, z) und p =(p x ,p y ,p z ) folgendermaßen
definiert:
∫ ∞
ψ nxn yn z
(p) =(2π~) −3/2 dr ψ nxn yn z
(r)e − ~ i pr (5.16)
−∞
Mit dem Hamilton-Operator eines freien Teilchens,
Ĥ = p2
2m , (5.17)
findet die Zeitentwicklung statt, und für die Wellenfunktion im Impulsraum zum Zeitpunkt
t ergibt sich mit
ψ nxn yn z
(p, 0) = ψ nxn yn z
(p), (5.18)
ψ nxn yn z
(p,t)=ψ nxn yn z
(p, 0)e − i ~ Ĥt . (5.19)
Anschließend wird ψ nxn yn z
(p,t) mit Hilfe der inversen Fouriertransformation
∫ ∞
ψ nxn yn z
(r,t)=(2π~) −3/2 dp ψ nxn yn z
(p,t)e ~ i pr (5.20)
wieder in den Ortsraum transformiert. Daraus können dann analog zum vorherigen Abschnitt
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Dichte berechnet werden, so daß die zu
lösende Gleichung
ρ(r,t)=
∑
η rel (n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z
(r,t)| 2 (5.21)
n x,n y,n z
−∞