Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle 65
Null gesetzt, man erhält also einen Schnitt durch das Zentrum der Wolke. Dieses Verfahren
ist sinnvoll, weil die Verteilung zylindersymmetrisch um die x-Achse ist und es bleibt die
Gleichung
ρ(x, y, 0) =
∑
η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho
(x 2 + y 2 ) )
~
2 nx+ny+nz n
n x ! n y ! n z !
x,n y,n z
(√ ) (√ )
·Hn 2 mωx
x
~ x Hn 2 mωy
y
~ y (5.12)
zu berechnen. Die Hermite-Polynome H ni können mit der Vereinfachung
ζ =
(√ mωx
~ x )
(5.13)
durch Zuhilfenahme einer Rekursion bestimmt werden:
H 1 (ζ) =1
H 2 (ζ) =2ζ
H n (ζ) =2ζ H n−1 (ζ) − 2(n − 1) H n−2 (ζ). (5.14)
Bei großen Quantenzahlen tritt durch den Vorfaktor
1
2 nx+ny+nz n x ! n y ! n z !
(5.15)
ein zusätzliches Problemauf, da dieser schon für relativ kleine Quantenzahlen sehr groß
wird. Die maximale Anzahl der Zustände in einer Richtung ist dadurch hier auf 100 beschränkt.
Da allerdings in die Berechnungen der Besetzungszahlen eine weitaus größere
Anzahl Zustände einbezogen wurde und die hohen Niveaus im interessanten Temperaturbereich
nur noch schwach besetzt sind, sollte diese Begrenzung zu keiner wesentlichen
Verfälschung der Ergebnisse führen.
Wie man sieht, werden für die Wellenfunktion und damit für die Dichte (5.12) alle drei
Quantenzahlen benötigt. Zur Beschleunigung der Rekursion für die Besetzungszahlen wird
dort aber nur in einer Dimension gerechnet, indem die Energieeigenwerte zwar für alle
Quantenzahlen ermittelt, anschließend allerdings durch Anwendung der Methode der Energiebereiche
auf eine lineare Energieskala mit entsprechender Entartung aufgeteilt werden.
Diese Energien werden von dem Programm recur98occup.f verwendet, um jedem Bereich
eine Besetzungszahl zuzuordnen, die daher wiederum nur in einer Dimension vorliegt und
anschließend auf die drei Quantenzahlen n x , n y und n z aufgeteilt werden muß, was folgendermaßen
geschieht: Bereits bei der Berechnung der Energieeigenwerte E nxn yn z
werden
die Quantenzahlen und der Index α des zugeordneten Energiebereichs E α in eine Datei
geschrieben, die später eingelesen werden kann, um die Besetzungszahlen den entsprechenden
Quantenzahlen zuzuordnen.
Die numerische Instabilität der Rekursion zur Berechnung der Besetzungszahlen beschränkt
die niedrigste mögliche Temperatur auf 2,5·10 −9 K, denn unterhalb dieser Temperatur
treten Werte auf, die außerhalb des nutzbaren Zahlenbereichs liegen.