Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A.5 Zylinder 95
Damit das Potential eindeutig wird (nach [72]), muß l =0, 1, 2,... ganzzahlig sein.
Der Radialanteil sieht folgendermaßen aus:
1
r ∂ rr∂ r u(r)+u(r)
Nach [50] wird diese Differentialgleichung gelöst durch
(c 1 − l2
r 2 )
=0 (A.57)
u(r) =C 1 J l ( √ c 1 r)+C 2 N l ( √ c 1 r).
(A.58)
Bei J l und N l handelt es sich wie bei der Kugel um die Besselfunktionen erster Art und die
von-Neumann Funktionen. Da die von-Neumann Funktionen an der Stelle Null divergieren,
muß C 2 =0sein, wenn u(r) endlich sein soll. Weiterhin muß u(a) =0als Randbedingung
gelten. Also ist
J l ( √ c 1 a)=0
(A.59)
und die n Nullstellen der Besselfunktionen sind gegeben durch
Die Konstante C 1 wird durch die Normierung bestimmt:
Z ln = √ c 1 a n =1, 2, 3,... . (A.60)
C 1 =
C 2 1
∫ a
0
dr rJ 2 l ( √ c 1 r)=1
√
2
aJ l+1 (a √ c 1 ) = √
2
aJ l+1 (Z ln )
(A.61)
(A.62)
Damit ergibt sich die Lösung für u(r) zu
Wir wissen, daß
u(r) =
√
2
(
aJ l+1 (Z ln ) J l
Z ln
r
a
)
. (A.63)
kπ
L = √
2mE
~ 2 − c 1 (A.64)
ist und erhalten durch Auflösen nach der Energie und Einsetzen der Beziehung (A.60) die
gesuchten Eigenwerte
( ( ) )
E nlk = ~2 Zln
2 2 kπ
2m a + , (A.65)
2 L
mit n =1, 2, 3, ..., l =1, 2, 3, ..., k = ..., −1, 0, 1, .... Die Wellenfunktion ψ(r, ϑ, z) setzt
sich aus den einzelnen berechneten Anteilen zusammen zu
2
(
ψ nlk (r, ϑ, z) =
a √ LJ l+1 (Z ln ) J r
)
l Z ln e ±ilϕ sin kπ a
L z. (A.66)