Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

66 Kapitel 5. Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle
Der Ursprung wird in das Zentrum der Falle gelegt, und die Berechnungen der Dichte werden
für einen Abstand von 5µminx- und y-Richtung durchgeführt. Für die oben angegebenen
Teilchenzahlen sind die Ergebnisse in Abbildung 5.2 bis 5.5 zu sehen. Die Darstellung
der Dichte erfolgt sowohl linear als auch logarithmisch, denn während die linearen Grafiken
die Ausbildung eines Peaks im Zentrum besser zeigen, wird durch die logarithmischen
Diagramme klar, daß das Integral über die Verteilungen immer gleich bleiben muß, da die
Teilchenzahl N konstant ist.
Aufgrund der Symmetrie um den Ursprung ist es ausreichend, die Dichte ρ(x, y, 0) nur für
einen Quadranten zu ermitteln und die entsprechenden Werte in die übrigen Raumbereiche
zu übertragen. Die berechneten Stützpunkte der Grafiken haben einen Abstand von jeweils
0,025µm, so daß insgesamt 160000 Punkte pro Bild ermittelt werden.
Leider können in der Papierversion dieser Arbeit bei weitem nicht alle Bilder, sondern
nur eine begrenzte Auswahl gezeigt werden. Auf der beiliegenden CD-Rom befinden sich
allerdings zum einen die übrigen Diagramme und zum anderen einige Animationen, die
die Änderung der Dichte in Abhängigkeit von der Temperatur zeigen. Die große Zahl der
auf der CD-Rom befindlichen Bilder ergibt sich aus der für die Erstellung dieser “Filme”
nötigen Menge, um einen flüssigen Verlauf zu erhalten. 2
Die Ergebnisse zeigen sehr deutlich, daß die Dichte innerhalb des harmonischen Potentials
oberhalb der in Tabelle 5.2 angegebenen kritischen Temperaturen gleichförmig ist,
also einer thermischen Verteilung entspricht. Für angeregte Zustände sind die Hermite-
Polynome nicht konstant, sondern entwickeln an den Rändern des Potentials einen Peak
und schwingen in der Nähe des Ursprungs nur mit geringer Amplitude. Die Maxima dieser
Wellenfunktionen befinden sich für hohe Quantenzahlen weiter außen als für niedrige. Daher
ergibt sich für Temperaturen oberhalb von T c eine gleichförmige räumliche Verteilung,
denn auch höhere Zustände sind besetzt.
Bei Eintritt der Kondensation bildet sich im Zentrum der Falle ein Peak in der Dichteverteilung
aus, der die Form einer Gaußschen Glockenfunktion hat. Die Ursache dafür liegt in
der Form der Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators, die eben
genau dieser Funktion entspricht. Da dieser Zustand der einzige makroskopisch besetzte
ist, heben sich die Auswirkungen dieses Niveaus von den anderen ab.
Aufgrund der nötigen Beschränkung der Anzahl dargestellter Bilder werden die Dichteverteilungen
nur für jeweils vier unterschiedliche Temperaturen pro Teilchenzahl abgedruckt.
Jede Serie enthält ein Bild für eine Temperatur von 1,0·10 −8 K, um einen direkten Vergleich
zu ermöglichen. Die linearen Darstellungen lassen sich kaum unterscheiden, denn
es scheint als seien bereits alle Teilchen kondensiert. Anders sieht es aus, wenn man die
logarithmischen Grafiken betrachtet. Hier ist deutlich zu erkennen, daß sich bei größeren
Teilchenzahlen bereits ein höherer Anteil der Atome im Kondensat befindet als bei kleineren.
Die Erklärung hierfür ist in der kritischen Temperatur zu finden, welche für größere
Teilchenzahlen höher liegt und damit für ein früheres Einsetzen der Kondensation sorgt.
Hieraus resultiert die Wahl der übrigen Bilder, denn es werden jeweils ein Wert aus der
Nähe der kritischen Temperatur und unterschiedlich verteilte Zwischenwerte gewählt.
Für 2000 Teilchen zeigt Abbildung 5.2 eine Grafik für eine Temperatur, die bereits am
2 Siehe auch Anhang E.