Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

16 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
anregungen, deren Energieniveaus
E n = E 0 + ∑ k
~ω k n k (2.52)
sind [70, 83]. 6 ~ω k ist die Energie einer Elementaranregung mit dem Wellenvektor k und
n k =0, 1, 2... die jeweilige Besetzungszahl. Diese Energie muß in der Nähe des Nullpunktes
die richtige spezifische Wärme liefern. Da die Temperatur proportional zu T 3 ist,
folgt für k → 0 die Beziehung ω k → ~ck (k ist hier der Betrag von k). Die Schallgeschwindigkeit
c in flüssigem Helium berechnet sich nach der statischen Definition der
Festkörpertheorie:
c = √ ∂ ρ P. (2.53)
(Gleichung 2.53 gilt nur, wenn c viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist !) Für endliche
Temperaturen erhält die spezifische Wärme C V einen zusätzlichen Term exp(−∆/k B T ).
Bei ∆ handelt es sich um eine aus dem Experiment zu bestimmende Konstante. Weitere
Konstanten dieser Art sind k 0 und σ, sodaß gilt:
{ ~ck (k ≪ k0 )
~ω =
∆+ ~2 (k−k 0 ) 2
(k ∼ k
2σ 0 )
(2.54)
Diese Funktion ist in Abbildung 2.4 dargestellt. Der Teil für kleine k verläuft linear und
~ω k
Rotonenanteil
Phononenanteil
~ck
Abbildung 2.4: Energiespektrum aus Phononen- und Rotonenanteil.
wird Phononenanteil genannt, der Teil um k 0 dagegen Rotonenanteil. Landau dachte, daß es
sich bei den Rotonen um von den Phononen verschiedene Anregungen mit Spin ~ handelt
und gab ihnen daher den zusätzlichen Namen. Tatsächlich sind allerdings beide Teilstücke
der in Abbildung 2.4 dargestellten Kurve Teil einer einzigen Funktion.
Bei tiefen Temperaturen und geringer Dichte kann man die Quasiteilchen als unabhängig,
also als ideales Bose-Gas, betrachten. In großkanonischer Näherung ist die mittlere Teilchenzahl
〈n k 〉 =
k 0
∆
k
1
e ~βω k − 1
, (2.55)
6 Landau soll einmal folgendes gesagt haben: “Die Theorie der Suprafluidität ist meine beste Theorie, weil
sie bis jetzt niemand richtig versteht.”