Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

3.3 Anwendung auf Helium 31
1000
σ
500
0
0 50 100
E
Abbildung 3.2: Die Entartung σ der Energieeigenwerte eines Zylinders mit 10000 Teilchen.
zu verfälschen. Im Gegensatz zu einer Begrenzung der Energie auf einen Bereich unterhalb
einer festen oberen Grenze ist es mit diesem Verfahren möglich, weitaus genauere Resultate
mit viel geringerem Rechenaufwand zu gewinnen. Wichtig ist nur, daß die einzelnen
Energiebereiche so klein sind, daß die untersten Niveaus noch getrennt werden können.
Eine klare Unterscheidbarkeit der untersten Zustände bedeutet, daß zwischen den einzelnen
Energien einige Energiebereiche E α unbesetzt sein müssen, denn für die Berechnungen
wird jeweils der Mittelwert eines Bereichs verwendet. Liegt also der Zustand ɛ ijk beispielsweise
am unteren Ende eines Bereichs, wird er in den Berechnungen zu (E α − E α−1 )/2
verschoben. Da die untersten Zustände vergleichsweise weit auseinander liegen, verursachen
Energiebereiche in der Größenordnung dieses Abstands eine nicht vernachlässigbare
Verfälschung der Ergebnisse.
Eine Einschränkung auf Energien unterhalb eines festgelegten Wertes kann durch dieses
Verfahren zwar immer noch nicht verhindert, jedoch kann diese Grenze weit nach oben
verschoben werden, so daß eventuell vergleichsweise stark besetzte hohe Niveaus einen
Einfluß ausüben können.
Für alle in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungen der Energieeigenwerte hat sich gezeigt,
daß für bis zu 100000 Teilchen in einem dreidimensionalen anisotropen Potential
die ersten 500 Werte für jede Quantenzahl, insgesamt also 500 3 = 1,25·10 8 Energien, berechnet
werden müssen. Teilt man diese große Zahl in α ges = 20000 Energiebereiche mit
entsprechender Entartung auf, sind die untersten Niveaus noch gut zu unterscheiden und
die Rechenzeit sinkt etwa um einen Faktor 6000. Für kleinere Teilchenzahlen könnten die
Eigenwerte für weniger Quantenzahlen ermittelt werden, allerdings ist die zu erwartende
Einsparung von Rechenzeit aufgrund der hohen bereits erreichten Geschwindigkeit gering.
Im Anschluß an die Bestimmung der Energieeigenwerte erfolgt die Berechnung der Energien,
Besetzungszahlen η i (N,β) sowie ihrer Fluktuationen für feste Teilchenzahlen N und
einen Temperaturbereich von null bis zehn Kelvin mit Hilfe der Rekursionsformel.
Bei der Umsetzung der Rekursionsformel in ein Programm treten ebenfalls Schwierigkeiten
auf, wenn zu niedrige Temperaturen oder sehr große Teilchenzahlen verwendet werden.
Während große Teilchenzahlen hauptsächlich zu langen Rechenzeiten führen, verursachen