Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

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36 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme zu erwarten war: Ihre Grundzustandsfluktuation wächst mit steigendem Parameter λ. Die Kurven für einen Zylinder mit periodischen Randbedingungen entsprechen wie bei der spezifischen Wärme einem herkömmlichen Zylinder, dessen kritische Temperatur nach oben verschoben ist. Die Berechnungen für den Hohlzylinder (Abbildung 3.8) bestätigen die aus den vorherigen Betrachtungen abgeleitete Erwartung, daß die Fluktuationen in gestauchten Fallen größer sind als in gestreckten. Eine gute Möglichkeit des Vergleichs mit den bereits von Gajda [47] und Grossmann [55] veröffentlichten Ergebnissen bietet die oben angewandte Art der Darstellung der Grundzustandsfluktuation. Allerdings verschwindet die hier dargestellte Größe δη 0 (N,β)/N für große Teilchenzahlen. Daher ist sie kein guter Indikator für Phasenübergänge, und Abbildung 3.9 zeigt eine mögliche Alternative, denn hier ist die relative Fluktuation der Grundzustandsbesetzungszahl δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) für verschiedene Quader aufgetragen. 1.5 1.0 Box a:L=1:1, N =1000 Box a:L=1:4, N =1000 Box a:L=1:1, N =10000 Box a:L=1:4, N =10000 δη0 η0 0.5 0.0 0 2 4 6 8 10 T [K] Abbildung 3.9: Relative Grundzustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Quader und N=1000, beziehungsweise N=10000 Teilchen. Diese Grafik zeigt einen Effekt, der von anderen Systemen bereits bekannt ist: Der Phasenübergang findet nicht bei einer wohldefinierten Temperatur, sondern in einem kritischen Gebiet statt, das durch einen starken Anstieg der Kurve für δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) gekennzeichnet ist. Selbst für 10000 Teilchen in einem Würfel überspannt es noch einen Bereich von etwa einem halben Kelvin, und für deformierte Körper ist das kritische Gebiet entsprechend größer. Der Grund dafür ist, daß finite Systeme keine scharfen Phasenübergänge aufweisen sondern höchstens den Ansatz eines Übergangs. Die Begründung für das in diesem Abschnitt gezeigte Verhalten liegt in den unterschiedlichen Differenzen zwischen den Energien des Grundzustandes und des ersten angeregten Zustandes in einem Potential, sowie der Entartung der einzelnen Niveaus. Ob die Auswirkungen der Differenz der Eigenwerte oder der Entartung stärker sind, sollte in einer zukünftigen Arbeit studiert werden. Da in den Tabellen in Anhang A nicht nur die jeweiligen Energieeigenwerte, sondern auch
3.3 Grundzustandsfluktuationen 37 die Differenzen zum jeweils vorherigen Wert angegeben sind, können deren Auswirkungen dort überprüft werden. In Tabelle 3.1 sind noch einmal die Differenzen ∆E = E 1 −E 0 nach Größe sortiert, stellvertretend für einige ausgewählte Potentiale zusammengefaßt, wobei die Teilchenzahl hier auf N=10000 festgesetzt ist. Potential ∆E [eV] Potential ∆E [eV] Kugel 0,027211 Box a:L=1:1 0,030041 Box a:L=4:1 0,011922 Box a:L=1:4 0,004731 Zylinder d:L=1:1 0,025573 Hohlzylinder λ=0,75, d:L=1:1 0,004549 Zylinder d:L=4:1 0,012201 Hohlzylinder λ=0,75, d:L=1:4 0,004027 Zylinder d:L=1:4 0,004028 Hohlzylinder λ=0,75, d:L=4:1 0,001805 Tabelle 3.1: Differenzen zwischen der Grundzustandsenergie und der Energie des ersten angeregten Zustandes für verschiedene Potentiale. Die Energiedifferenzen sind für die symmetrischen Zylinder und Quader größer als für die deformierten Körper, wobei die gestreckten die kleinste Differenz aufweisen. Anders ist es bei den Hohlzylindern, da dort das Verhältnis aus Innen- und Außenradius eine Rolle spielt. Unter experimentellen Bedingungen ergibt sich, daß ein kondensiertes ideales Bose-Gas in einer anisotropen Falle weniger stabil sein wird als in einer isotropen.
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A.6 Zylinder mit periodischen Randb
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108 Anhang C. Artikel
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114 Anhang E. Vollständige Serien
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Literaturverzeichnis [1] C.S. Adams
Seite 137 und 138:
LITERATURVERZEICHNIS 129 [31] F. Da
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LITERATURVERZEICHNIS 131 [64] E.R.
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LITERATURVERZEICHNIS 133 [99] T. Pa
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