Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

10 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
deren Ableitung für z =1zwar divergiert, jedoch einen endlichen Wert besitzt:
∞∑
( )
1 3
g 3/2 (1) =
l = ζ =2, 612 (2.34)
3/2 2
l=1
Bei ζ(n) handelt es sich um die Riemansche Zetafunktion, die nach [66] für alle n mit g n
wie
verknüpft ist. Für den beschränkten Bereich von z gilt weiterhin
g n (1) = ζ(n) (2.35)
g 3/2 ≤ 2, 612. (2.36)
Abbildung 2.1 zeigt eine graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z).
2,612
g 3/2 (z)
Abbildung 2.1: Graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z).
1
z
Formt man (2.30) mit dem Erwartungswert der Grundzustandsbesetzungszahl
〈η 0 〉 = z
1 − z
um zu
so folgt, daß
〈η 0 〉
V
(2.37)
=
λ3
v − g 3/2(z), (2.38)
〈η 0 〉
V > 0 (2.39)
ist, wenn für die Temperatur und das spezifische Volumen
λ 3
v >g 3/2(1) (2.40)
gilt. Das bedeutet, daß eine makroskopische Zahl der Teilchen das Grundzustandsniveau
besetzt, und diese Bedingung definiert einen Unterraum des thermodynamischen (P ,V ,β)-
Raumes für das ideale Bose-Gas, der dem Übergangsgebiet zum Bose-Einstein-Kondensat
entspricht.