Divisores

En efecto, si a y b son coprimos, tanto su parte cuadrada como su parte libre
poseerán factores primos diferentes en ambos números. Por tanto, P y Q
aportarán al producto factores que no pertenecerán a la otra función. En ese
producto figurarán los que aporta cada uno sin coincidencias, por lo que sus
cuentas se sumarán. Lo puedes verificar en la tabla de más arriba, por
ejemplo:
P(2)=1, P(9)=0 y P(2*9)=P(18)=1=P(2)+P(9)
Prueba también con otros pares (coprimos) y con Q(n), y comprobarás la
aditividad.
Al igual que las funciones multiplicativas, las aditivas se definen sólo para
potencias de primos. En este caso la definición adecuada de Q(p m ) sería
Q(p m )=0 si m=1, y Q(p m )=1 en los demás casos. Lo puedes expresar también
como p sg(m-1) , donde sg es la función signo, que vale 1 en los positivos y 0 en
el cero.
Para la función P tendríamos la situación opuesta:
P(p m )=1 si m es impar, y P(p m )=0 si m es par. También se puede resumir
como P(p m )=(m mod 2)
La falta de simetría en las definiciones viene dada por el hecho de que si un
primo está elevado a exponente 2 o mayor, se cuenta en Q y no en P, tanto si
es par o impar.
La función g(n), los cuadrados y los primoriales.
Hace unas semanas, navegando por Twitter encontré unos comentarios de
Republic of Math (@republicofmath) sobre resultados relativos a esta función.
Me interesaron bastante y decidí estudiarla mediante hojas de cálculo, que es
donde nos movemos en este blog. En la anterior entrada se incluyó un estudio
sobre los factores primos de las partes cuadrada y libre como introducción al
que se inicia hoy.
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