Divisores

N 21
Primera iteración 240
Segunda 3
Tercera 2
… 1
1
1
1
1
La mayoría de números desemboca en la unidad al iterar la función
A(N). Los únicos números que producen periodos de 2 términos son:
9, 16, 25, 45, 49, 63, 75, 80, 81, 99, 112, 117, 121, 125, 128, 147, 153,
169, 171, 175, 176, 207, 208, 225, 243, 245, 250, 256, 261, 275, 279,
289, 304, 315, 325, 333, 343, 361, 363, 368, 369, 375, 387, 405, 423,
425, 441, 464, 475, 477, 486, 495, 496, 500, 507, 512, 525, 529, 531,
539, 549, 560, 567, 575, 585, 592, 603, 605, 625, 637, 639, 640, …
Los hemos generado con el programa PARI siguiente:
a(n)={local(m=1,x=n,as=1,p);while(x>1,m++;p=gcd(x,m);x=x/p;as*=
m/p);as}
{for(i=1,10^3,m=i;v=1;while(m>1&&v,n=a(m);if(m==a(n),v=0;print1(i
,", "));m=n))}
No hemos encontrado regularidades en estos números y sus
asociados. Unos son cuadrados y otros no, en la mayoría de las veces
un número y su asociado son coprimos, pero en otras tienen MCD
mayor que 1, como MCD(495,80640)=3. Según hemos explicado
anteriormente, ninguno es primo.
Lo que sí poseen todos es una parte cuadrada mayor que 1. Si fueran
libres de cuadrados, se descompondrían en un producto de primos
elevados todos a la unidad. Si los ordenamos de menor a mayor
tendríamos N=p 1 p 2 p 3 …p k y según lo explicado en entradas anteriores,
S(N)=p k !, con lo que A(N) carecería de ese factor p k , pero el factorial en
que se basa ha de ser el mismo p k ! o inferior. El mismo no es, porque
al carecer de ese factor primo, no es necesario llegar hasta p k !. Por
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