LA FUNCIÓN DE SMARANDACHE Y LOS NÚMEROS DE KEMPNER La función de Smarandache se define, para un número natural n, como el menor entero tal que su factorial es divisible entre n. La designaremos como S(n). Por ejemplo, para n=12, el menor valor de k tal que k! sea divisible entre 12 es el 4, ya que 4!=24 es el menor factorial divisible entre 12. Lo expresaremos como S(12)=4. Es fácil que entiendas que S(6)=3 o que S(7)=7. Plantéate otros ejemplos. Esta función fue estudiada por Lucas y Kempner antes de que Smarandache le asignara su propio nombre. Por eso, la sucesión de sus valores recibe el nombre de “números de Kempner”, y es esta: 1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 6, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 4, 10, 13, 9, 7, 29, 5, 31, 8, 11,… (http://oeis.org/A002034) Aprovecha estos valores para comprobar la definición de la función en cada uno de ellos. Pronto descubrirás casos particulares, que podrás ampliar en la próxima entrada de este blog. Por ejemplo, adelantamos que el valor de S(p) para un número primo p es el mismo número: S(p)=p para p primo, o que S(n!)=n. Lo veremos más adelante. En las dos primeras entradas de esta serie nos dedicaremos sólo a intentar construir algoritmos que reproduzcan los valores de la función. Comenzaremos por el más ingenuo y seguiremos con otros que contienen más artificio. Ante todo hay que notar que S(N)
sobrepasará la capacidad de cálculo de la herramienta que usemos, especialmente si es una hoja de cálculo. Lo intentamos para Excel: Public Function smar1(x) Dim n, f Dim seguir As Boolean If x < 3 Then smar1 = x: Exit Function ‘Para x=1,2 S(x)=x n = 1: f = 1 ‘Recorremos naturales desde 2 hasta x y f es su factorial seguir = True ‘variable para controlar el WHILE-WEND While n
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MÚTIPLOS DECRECIENTE S A principio
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Ideas para ampliar y reflexionar (a
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volvemos a considerar el paso de (n
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(c) En todo el razonamiento deberí
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24*25*26=25*26*27 2*3*4*5=3*4*5*6 4
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APÉNDICE F UNCIÓN ESDI VIS IBLE A
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