Divisores

existencia de un supremo, el retículo se convertiría en un
sup_semirretículo, y sub_semirretículo en el caso del ínfimo.
Un retículo puede ser acotado si existe un máximo E que es
mayorante de todos los demás elementos, y un mínimo que es
minorante de todos ellos. Es claro que en nuestro ejemplo N es el
máximo E y 1 es el mínimo . Se cumple que Nb=b y que 1b=b. A
los elementos que sólo tienen como minorante (y distintos de él) les
llamaremos átomos, y en nuestro caso son los factores primos de N.
Por el contrario, si su único mayorante es E, reciben el nombre de
coátomos.
Estos dos elementos E y nos valen para la siguiente definición: un
retículo acotado es complementado si para todo elemento a existe
otro a’, su complemento, tal que aa’=E y aa’=. Aunque no nos
extenderemos en esta dirección, el complemento no tiene que ser
único.
Puedes investigar cuándo un retículo se convierte en un álgebra de
Boole. No trataremos esto.
Aquí hay que pararse:
El retículo de los divisores de N es complementado si y sólo si N
es libre de cuadrados.
En efecto: Si N es libre de cuadrados, todos sus factores primos
estarán elevados a la unidad, por lo que cada divisor a se caracterizará
tan sólo por su colección de factores primos, y bastará tomar para a’ el
número formado por el producto de los primos que no son divisores de
a, que cumplirá trivialmente lo exigido. Por ejemplo, entre los divisores
de 210 (libre de cuadrados porque 210=2*3*5*7), el complemento de
35 es 14.
Por el contrario, si no es libre de cuadrados, un divisor p se presenta
elevado a una potencia con exponente r mayor que 1. Busquemos el
complemento q de p (sin elevar a r). En primer lugar deberá cumplir
que pq= o expresado mejor en este caso, p y q han de ser
coprimos. Entonces q sólo podrá contener factores primos distintos de
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