Divisores

Esta definición tiene una consecuencia muy curiosa: todos los números
poderosos se pueden expresar así: N=a 2 b 3 con a y b naturales. ¿Te
atreves a demostrarlo? Antes de que te pongas a ello, recuerda que no
hemos dicho que a y b tengan que ser primos.
Los números de Aquiles son números poderosos que no pueden
representarse como potencias perfectas, es decir, no equivalen a m^n
con m y n naturales. Esto significa que el máximo común divisor de los
exponentes ha de ser 1. En efecto, si en la descomposición de un
número los exponentes tuvieran un factor común se podría efectuar la
siguiente transformación:
Esto convertiría N en una potencia, en contra de lo supuesto.
Por ejemplo, el número 2700 es de Aquiles, porque equivale a 2 2 *5 2 *3 3 .
El m.c.d de los exponentes es 1. Son coprimos, aunque no dos a dos.
La descomposición N=a 2 b 3 que vimos más arriba exige que en el caso
de los números de Aquiles ni a ni b sean iguales a la unidad.
Los primeros números de Aquiles son
72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323,
1352, 1372, 1568, 1800,… (http://oeis.org/A052486)
Se han descubierto interesantes propiedades de estos números. Por
ejemplo:
* 3087 y 7803 son ambos de Aquiles y sus cifras ordenadas en orden
inverso
* Los números de Aquiles consecutivos más pequeños son
5425069447 = 7 3 × 41 2 × 97 2
5425069448 = 2 3 × 26041 2
* Hay números de Aquiles “fuertes”, en los que ellos son de Aquiles y
su indicatriz de Euler también. Son estos:
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