Divisores

Números con fórmula determinada
En la página enlazada se destaca que todos los números naturales de la
forma 4k 2 +4k pertenecerán a esos pares como primer elemento (Amarnath
Murthy). Se ve que contienen una parte cuadrada de al menos 4 y que su
siguiente es 4k 2 +4k+1 = (2k+1) 2 , cuya parte cuadrada es él mismo. Se
observa también que 4k 2 +4k=8(k(k+1)/2), o lo que es lo mismo, que es 8
veces un número triangular. Así que si multiplicamos por 8 los números 1, 3,
6, 10, 15 se obtendrán 8, 24, 48, 80 y 120, que pertenecen todos al conjunto y
es fácil ver que siguen la recurrencia X(n+1)=X(n)+8(n+1), lo que los convierte
en una progresión aritmética de segundo orden.
Los números del tipo 4k 2 +4k pertenecen al conjunto.
Siguiendo un razonamiento similar, pertenecerán al conjunto los pares
del tipo (n 4 +2n 2 ) y (n 4 +2n 2 +1), y en general los (n 2k +2n k ) y (n 2k +2n k +1).
Desarrollamos algunos ejemplos. Son pares del conjunto
(16+2*4, 16+2*4+1)=(24,25)
(81+2*9, 81+2*9+1)=(99,100)
(256+2*16, 256+2*16+1) = (288,289)
Observa ahora el segundo elemento de este tipo de pares, (2k+1) 2 . Es
interesante demostrar la sugerencia que sobre ellos contiene la página citada.
Imagina que multiplicamos ese cuadrado por un impar del tipo 4m+1. El
resultado sería
(4m+1)(2k+1) 2 =(4m+1)(4k 2 +4k+1)=16mk 2 +16km+4m+4k 2 +4k+1=4H+1
Esto nos dice que esa expresión contiene el cuadrado (2k+1) 2 , pero si le
restamos 1, la diferencia 4H contiene el cuadrado 4, luego ambos forman un
par perteneciente al conjunto.
Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo
4m+1, obtienes el segundo elemento de uno de los pares del conjunto.
Revisa la lista y localizarás los productos 9, 9*5=45, 9*9=81, 9*13=117,… así
como 49, 49*5=245,… todos como segundo elemento del par.
Si usáramos un impar del tipo 4m+3 en ese caso aparecería un primer
elemento de par. Se demuestra de forma similar:
(4m+)(2k+1) 2 =(4m+3)(4k 2 +4k+1)=16mk 2 +16km+4m+12k 2 +12k+3=4H+3
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