Divisores

nos dará S(N) o un número menor, si existe un factorial múltiplo de
A(N) que sea menor que S(N). Por tanto:
S(N)>=S(A(N))
Pueden ocurrir dos casos
(1) Si para un N se da que S(N)=S(A(N)), al iterar y calcular A(A(N))
resultará A(A(N))=S(A(N))!/A(N)=S(N)!/(S(N)!/N)=N
Si S(N)=S(A(N)), resultará A(A(N))=N y la sucesión de iteraciones
será periódica.
Esto ocurre, por ejemplo, para N=25, pues A(25)=145152 y
A(145152)=25. Los dos asociados tienen el mismo factorial mínimo
común a ambos. La sucesión será periódica. Lo podemos ver con la
hoja de cálculo y la función ASOC:
N 25
Primera iteración 145152
Segunda 25
Tercera 145152
… 25
145152
25
145152
25
(2) Si en un conjunto de iteraciones se da que S(N)>S(A(N)), los
factoriales mínimos irán decreciendo, con lo que, o bien llegaremos a
un número que produzca periodicidad como en el primer caso, o bien
desembocaremos en 1!=1, y a partir de él todos serán iguales a la
unidad, porque S(1)=1.
Esto se da en todos los números primos, porque entonces A(P)=(P-1)!
Y A(A(P))=A((P-1)!)=1. También en otros que no son primos, como el
21: A(21)=240, que es el cociente entre 7! Y 21. A(240)=3, es decir
6!/240. Seguimos iterando: A(3)=2 y por último, A(2)=1
Con la hoja:
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