Divisores

Para encontrar el menor divisor de un número, en este caso 2 n -1,
bastará ir probando números a partir del 2 y ver si 2 n -1 es divisible
entre ellos. Al encontrar el primero se para la búsqueda. La idea es
trivial, pero con la rapidez de un ordenador se obtiene el resultado en
poco tiempo para números no muy grandes.
En el Apéndice se ha incluido la función menordiv en código Basic.
Números de Aquiles
(a) El número N se descompondrá en varios factores primos, cuyos
exponentes podrán ser pares o impares mayores que 2. Si el
exponente es par, expresamos p 2k como (p k ) 2 . Si el exponente es impar
mayor que 2 podemos escribir p 2k+1 (con k no nulo) como (p k-1 ) 2 *p 3 . Una
vez realizados esos cambios de representación, multiplicaremos entre
sí todos los cuadrados y resultará a 2 , al multiplicar los cubos, b 3 .
(b) Todo número de Aquiles N tiene la forma a 2 b 3 por ser poderoso. Si
a y b fueran ambos primos, sería minimal y por tanto se cumpliría lo
propuesto. Si uno de ellos no lo es bastará extraer una vez uno de sus
factores primos elevado a la misma potencia, e igual haríamos si
ninguno fuera primo. Al final se extraería un divisor que fuera de
Aquiles y minimal.
Productos consecutivos con los mismos factores
Los números inicial y final son determinantes para saber si es posible
esta propiedad. Por ejemplo, si el primer número es múltiplo de 7, este
factor no se repetirá en los cuatro o cinco siguientes, anulando
cualquier posibilidad de que la propiedad sea cierta.
Si el primer factor de un producto de N consecutivos posee un divisor
mayor que N, la propiedad sería imposible.
1*2*3 y 2*3*4
3*4*5=4*5*6
6*7*8=7*8*9
9*10*11=10*11*12
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