Divisores

Como en teoría de números suelen existir varias soluciones,
elegiremos siempre la menor de ellas. La representaremos con el
prefijo MF seguido del nombre de la función.
Lo vemos con algún ejemplo
Si tomamos el número 31, ¿qué otro número tendrá ese resultado al
sumar sus divisores (función sigma)? Si calculamos un poco, veremos
que el más pequeño que cumple esto es el 16, ya que
16+8+4+2+1=31. Lo expresaremos como 16=MF_SIGMA(31)
¿Cuál es el primer número que tiene exactamente 8 divisores (función
tau)? Se trata del 24, que posee como divisores 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y
1, luego MF_TAU(8)=24
No es fácil esta búsqueda, porque no siempre tenemos una acotación
para encontrar aquellos números cuyo resultado en una función es el
número dado. Por eso, tendremos que encontrar distintas estrategias.
Avanzamos tres de ellas:
Reflexión teórica
Esta es la más valiosa, pero no siempre posible. Intentaremos en ella
llegar al resultado por razonamiento. En el caso del ejemplo anterior
MF_TAU(8)=24 era fácil. La función TAU viene dada por la fórmula
En ella a 1 , a 2 , … son los exponentes de los números primos en la
descomposición factorial de N. Es claro que para que se tengan 8
divisores D(N) ha de tener como factores 2*2*2, 4*2 o 8, o lo que es
igual, signatura prima (conjunto de los exponentes de los primos) igual
a (1,1,1), (3,1) o (7). Para encontrar el mínimo N imagina qué primos
se pueden corresponder con esos exponentes. Lo vemos:
2*2*2: la combinación de primos mínima en este caso sería 2 1 *3 1 *5 1
=30
2*4: Exponentes 1 y 3. El número mínimo sería 2 3 *3= 24
8: El único exponente sería 7, y el mínimo posible N=2 7 = 128
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