Divisores

Asociado Kempner de un número entero
En los párrafos anteriores llamamos S(n) al menor número tal que su
factorial sea múltiplo de n. Estudiamos los algoritmos para encontrar
valores de esa función y algunas de sus propiedades. Nos basaremos
en éstas para desarrollar el concepto de “asociado Kempner” de un
número. Lo definiremos así:
A(n)=S(n)!/n
Es fácil ver que A(n) es el número que multiplicado por n lo convierte
en el factorial mínimo que es divisible por él. Si disponemos de S(n),
bastará encontrarle el factorial, que será múltiplo de n y por tanto
podremos dividir.
Los resultados de esta operación los tienes en http://oeis.org/A007672
1, 1, 2, 6, 24, 1, 720, 3, 80, 12, 3628800, 2, 479001600, 360, 8, 45,
20922789888000, 40, 6402373705728000, 6, 240, 1814400,
1124000727777607680000, 1, 145152, 239500800, 13440, 180,
304888344611713860501504000000…
Sólo con recorrerlos brevemente descubrimos las oscilaciones
enormes que existen entre cada término y el siguiente. La razón es
obvia, y está basada en las propiedades de S(n), de las que se derivan
las de A(n):
El asociado de un número primo p es A(p)=(p-1)!
Porque S(p)=p, luego A(p)=p!/p=(p-1)!
En la sucesión puedes comprobarlo: A(7)=720=6!, A(11)=3628800=10!
Esto nos indica que la sucesión no está acotada. Dada una constante
cualquiera, existe un factorial que la sobrepasa.
El asociado de un factorial es igual a 1
Es evidente, porque S(n!)/n=n/n=1
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