Divisores

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
1 2 6 12 60 60 420 840 2520 2520 27720 27720 360360 360360 360360 72072
2 3 2 5 1 7 2 3 1 11 1 13 1 1 2
Sólo aportan un factor mayor que 1 los números primos y sus
potencias. Es claro que es porque sólo ellos suponen algo nuevo. El
resto, como el 12, usa factores que ya han aportado el 3 y el 4. ¿Qué
ocurre entonces? Que al llegar a cada potencia de primo se habrá
acumulado este tantas veces como indique esa potencia. Estudia el 8.
Antes de él ha aparecido el 2 como factor de sí mismo y como factor
de 4. Con el 2 que aporta el 8 ya tenemos tres, que es precisamente el
exponente correspondiente al 8.
En esta sucesión se van acumulando los factores primos de forma que
al llegar sus potencias las reproducen exactamente.
Esto tiene una consecuencia muy elegante:
Por ejemplo, en el caso de 24 tendríamos:
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Valores de B(n): 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1
Es evidente que el producto de los valores de B(n) vuelve a dar 24.
¿Conoces la función de Mangoldt? Si has leído a nuestro amigo Rafael
Parra te sonará (http://hojamat.es/parra/funesp.pdf)
Pues bien, nuestra función B(n) es la exponencial de dicha función. Si
tomas logaritmos en B(n) obtendrás 0, log(2), log(3), log(2), log(5), 0,…
que es la definición de la función de Mahgoldt (tomamos la imagen de
http://mathworld.wolfram.com/MangoldtFunction.html)
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