Divisores

SOLUCIONES
Cuestiones muy preparadas
M=3*5 2n+1 +2 3n+1 = 15*25 n +2*8 n = 15*(17+8) n +2*8 n = 17K+15*8 n +2*8 n =
17(k+k’)
Por inducción:
Si n=1 M=3*125+16 = 375+16 = 391 = 17*23
Para n+1: M= 3*5 2(n+1)+1 +2 3(n+1)+1 = 75*5 2n+1 +8*2 3n+1 =
(51+24)*5 2n+1 +8*2 3n+1 = 17K+8*(3*5 2n+1 +2 3n+1 )=17K+8*17K’ =17K’’
Múltiplos decrecientes
Si al multiplicar B por k no se produce una cifra de arrastre, entonces
existirá proporcionalidad: m=kp y n=kq, y el producto cruzado valdrá
cero. Si se produce la cifra de arrastre ocurrirá que nkp, lo
que producirá un producto positivo.
(a) Sí, porque el razonamiento no se basa en el valor de la base. En el
caso de 100 o 1000 cambiaríamos el algoritmo separando dos o tres
cifras en lugar de una.
(b) En este algoritmo el múltiplo nuevo que aparece hemos visto que
es igual a B(m-pk), lo que indica claramente que equivale al exceso
que tiene m sobre pk, cuyo único origen está en las cifras de arrastre.
Así que valores de B como 18 o 29 producirán más pasos que 31 o 13,
por ejemplo.
Se puede comprobar con el número 198679=31*29*17*13, que
produce números de pasos muy distintos con cada uno de sus
factores: El 31 necesita sólo 4 pasos para llegar al cero, el 13 lo logra
con 8 pasos, el 17 necesita 24 y el 29 nada menos que 68.
124