Divisores

p. Pero al calcular pq el resultado no podrá coincidir con N, ya que el
MCM(p, q) contendrá a p elevado a la unidad, mientras que N lo
contiene elevado a r>1. Así que ningún candidato a complemento
cumple las dos propiedades. Hemos encontrado un contraejemplo que
invalida la propiedad.
Este carácter de retículo se suele expresar mediante un diagrama de
Hasse, en el que cada dos elementos relacionados se unen mediante
una línea, no teniendo en cuenta la propiedad reflexiva y aprovechando
la transitiva para eliminar líneas. Aquí tienes el correspondiente a 150:
Se comprende que hay otras formas de ordenarlo y dibujarlo. Es un
buen ejercicio identificar el carácter de un número según su diagrama
de divisores (potencia de un primo, semiprimo, libre de cuadrados…)
Presentada esquemáticamente la teoría, nos dedicaremos a descubrir
algunos retículos y semirretículos que se dan en el conjunto de
divisores de N. Todo él completo hemos visto que es un retículo.
El retículo de los libres de cuadrados
Lo presentaremos con un ejemplo. Imaginemos todos los divisores de
1800 que son libres de cuadrados, es decir, que sus factores primos
están todos elevados a la unidad. Es claro que cualquier divisor de
ellos lo será también del radical de de 1800, que es 30 (contiene los
mismos factores primos, pero elevados a la unidad). Por tanto, esto
nos remite al caso general: es retículo el conjunto de divisores de un
número libre de cuadrados.
En el caso de 1800 son estos: {30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1} Todos
presentan los primos 2, 3 o 5 elevados a la unidad. El mayor, 30, es el
radical de 1800. Como es libre de cuadrados, por la propiedad anterior,
sus divisores formarán un retículo.
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