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Para encontrar el menor divisor de un número, en este caso 2 n -1, bastará ir probando números a partir del 2 y ver si 2 n -1 es divisible entre ellos. Al encontrar el primero se para la búsqueda. La idea es trivial, pero con la rapidez de un ordenador se obtiene el resultado en poco tiempo para números no muy grandes. En el Apéndice se ha incluido la función menordiv en código Basic. Números de Aquiles (a) El número N se descompondrá en varios factores primos, cuyos exponentes podrán ser pares o impares mayores que 2. Si el exponente es par, expresamos p 2k como (p k ) 2 . Si el exponente es impar mayor que 2 podemos escribir p 2k+1 (con k no nulo) como (p k-1 ) 2 *p 3 . Una vez realizados esos cambios de representación, multiplicaremos entre sí todos los cuadrados y resultará a 2 , al multiplicar los cubos, b 3 . (b) Todo número de Aquiles N tiene la forma a 2 b 3 por ser poderoso. Si a y b fueran ambos primos, sería minimal y por tanto se cumpliría lo propuesto. Si uno de ellos no lo es bastará extraer una vez uno de sus factores primos elevado a la misma potencia, e igual haríamos si ninguno fuera primo. Al final se extraería un divisor que fuera de Aquiles y minimal. Productos consecutivos con los mismos factores Los números inicial y final son determinantes para saber si es posible esta propiedad. Por ejemplo, si el primer número es múltiplo de 7, este factor no se repetirá en los cuatro o cinco siguientes, anulando cualquier posibilidad de que la propiedad sea cierta. Si el primer factor de un producto de N consecutivos posee un divisor mayor que N, la propiedad sería imposible. 1*2*3 y 2*3*4 3*4*5=4*5*6 6*7*8=7*8*9 9*10*11=10*11*12 126
24*25*26=25*26*27 2*3*4*5=3*4*5*6 4*5*6*7=5*6*7*8 8*9*10*11=9*10*11*12 12*13*14*15=13*1415*16 232*33*34*35=33*34*35*36 1*2*3*4*5=2*3*4*5*6 76*....=77*... Un cuadrado y una unidad Para que n 2 +1 sea múltiplo de un número k, deberá ocurrir que k-1 sea un resto cuadrático módulo k, pero eso no ocurre para ciertos números. Basta consultar las tablas de restos cuadráticos para diferentes valores para comprobarlo Módulo 3 4 5 7 11 13 NO NO SÍ NO NO SÍ Restos 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 1 4 2 9 9 1 1 2 5 3 1 1 4 3 12 1 1 3 10 1 1 4 5 10 1 4 1 9 12 1 1 4 4 3 1 2 1 9 1 1 1 2 4 4 4 1 1 En la tabla se observa que para 5 existe un resto cuadrático 4, y para el 13 el 12, pero para 3, 4, 7 y 11 no es resto cuadrático k-1. 127
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Divisores Edición otoño 2015 Cole
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La imagen te lo explica 1 perfectam
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Vemos que hay la mitad de elementos
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Ideas para ampliar y reflexionar (a
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No es el más eficiente, pero para
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