Divisores

Sea el número N. Basta considerar el conjunto de N+1 repunits 1, 11,
111, 1111,…111… (N+1)...11. Si los dividimos todos entre N, como
sólo existen N restos posibles habrá dos repunits que produzcan el
mismo resto. Basta restarlos, con lo que obtendremos un múltiplo N,
que tendrá la forma pedida: 1111…000…
A partir de ella podemos demostrar la primera:
Todo número natural primo distinto de 2 y 5 es siempre divisor de un
repunit 11111….1, pues según la propiedad anterior, el número primo
N tendrá un múltiplo de la forma 1111…000… =
1111…*10*10*10… Al ser primo distinto de 2 y 5, no puede dividir a 10,
luego dividirá a 1111… que es el repunit pedido.
¿Te quieres complicar un poco?
Por el Teorema de Fermat, si N es primo se verificará que 10 N-1 -1
=9999… (N-1)…999 = 9*1111… (N-1)…111 es múltiplo de N. Si N no
es 3, dividirá a 1111… (N-1)…111, y si lo es, basta elegir un repunit
con un número de unos múltiplo de 3. También hemos descubierto que
salvo en el caso del 3, el número de unos del repunit puede ser N-1.
No debemos conceder demasiada importancia a estos
descubrimientos. En realidad provienen de una aplicación sencilla del
Principio del Palomar:
Si repartimos m objetos en n conjuntos, y m>n, entonces, al
menos un conjunto deberá contener 2 objetos o más.
Así, podríamos inventar múltiples propiedades parecidas:
Entre los veinte primeros números de la sucesión de Fibonacci
existirán al menos dos cuya diferencia sea múltiplo de 17. En efecto,
144-8 = 136 = 17*8
Toda progresión aritmética de más de 10 términos contiene al menos
dos elementos que terminan en la misma cifra. Por ejemplo 7, 20, 33.
46, 59, 72, 85, 98, 111, 124, 137, 150, 163, 176,…
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