Divisores

La imagen te lo
explica
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perfectamente. Cada par de
elementos tiene un supremo y un ínfimo. Todo el conjunto posee un
máximo, que es el I=30 y un mínimo, =1.
En este retículo todo elemento a posee un complemento a’, formado
por los factores primos que no son divisores de a. Es claro que el
supremo de a y a’ es 30 y el ínfimo 1. Por tener esta propiedad este
retículo es complementado.
Hemos descubierto que en el conjunto de divisores de un número
cualquiera, los libres de cuadrados forman un subretículo, que coincide
con los divisores del radical de N. Este retículo es complementado.
Por ejemplo, en el número 4900, el subretículo de los libres de
cuadrados está formado por el conjunto {70, 35, 14, 10, 7, 5, 2, 1 }
¿Qué ocurre con los que no son libres de cuadrados?
30
6 10 15
2 3 5
Un divisor no libre de cuadrados admite a su vez otro divisor suyo que
sí lo sea. 90 no está libre de cuadrados, pues equivale a 2*32*5, pero
admite como divisor el 15 que sí es libre de cuadrados. Es un conjunto
que no es sub_semirretículo para la relación de ser divisor. En el caso
de 1800 es este: {1800, 900, 600, 450, 360, 300, 225, 200, 180, 150,
120, 100, 90, 75, 72, 60, 50, 45, 40, 36, 25, 24, 20, 18, 12, 9, 8, 4}
Si cambiamos la relación de “ser divisor” por la de “ser múltiplo”, la idea
se invierte: Cualquier múltiplo de un divisor no libre de cuadrados
tampoco lo será, y lo convierte en un sup_semirretículo para la relación
de “ser divisor”. Así que en el conjunto de los divisores no libres de
cuadrados todo par de ellos posee un supremo que pertenece al
conjunto, pero quizás no exista el ínfimo. Con un ejemplo lo verás:
1800=MCM(450,24) es el supremo de ambos, y está en el conjunto.
Sin embargo 6=MCD(450,24) no lo está.
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