Divisores

aprovecharemos esta cuestión para repasar algunas cuestiones
teóricas.
El mayor divisor impar (MDI(N)) de un número par N es siempre divisor
propio, y la relación entra ambos es la de N=MDI(N)*2 k , siendo k el
mayor exponente posible tal que 2 k divide a N y recibe el nombre de
valuación de N respecto a 2
(ver
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisorimpar.html)
Si B es el mayor divisor impar de A se cumple A=B*2 k siendo k la
valuación de A respecto a 2. En el caso que nos ocupa A sería par
y k>0
Condición necesaria de igualdad de sumas
Busquemos números pares que presenten la misma suma de cifras
que su mayor divisor impar (MDI)
Si dos números presentan la misma suma de cifras es que son
congruentes módulo 9, según vimos en la entrada referida más arriba.
Por tanto tendremos, NMDI(N) (mod 9, o lo que es igual, N-MDI(N) ha
de ser múltiplo de 9. Sustituimos N por MDI(N)*2 k y obtenemos:
MDI(N)*2 k -MDI(N)=MDI(N)(2 k -1) ha de ser múltiplo de 9.
Pueden ocurrir tres hechos para que esto se cumpla:
(a) Si MDI(N) es múltiplo de 9, se cumple seguro, y como N es par,
habrá en la sucesión múltiplos de 18. Compruébalo: 18, 36, 54, 72, 90,
108, 126, 144, 162…
Unos términos de la sucesión serán múltiplos de 18
(b) Si MDI(N) es múltiplo de 3 pero no de 9, (2 k -1) ha de ser múltiplo de
3, lo que ocurre para k=0, 2, 4, 6, y los pares, porque 2 2n -1=M(2 2 -
1)=M*3. Otra forma de verlo consiste en tener en cuenta que en este
caso 2 k 1 (mod 3, es decir, que 1 ha de ser resto potencial de 2 k
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