Divisores

12, 24, 60, 100, 120, 132, 150, 156, 200, 204, 228, 240, 264, 276, 300, 320, 348, 372,
420, 500, 516, 552, 600, 624, 636, 660, 700, 708, 732, 744, 780, 912, 1000, 1014,
1050, 1056, 1068, 1092, 1100,…
Todos ellos contienen un cuadrado mayor que 1, por lo que su parte
libre será menor que ellos. Por ejemplo, la parte libre de 1200 es 3,
porque 1200=3*20^2. Se cumple que la suma de cifras de 1200 es
también 3.
N será igual a N=PL(N)*k 2 , con lo que la condición ahora será
PL(N)(k 2 -1) es múltiplo de 9 (representamos la parte libre mediante el
símbolo PL).
Aquí hay una novedad respecto al anterior apartado, y es que PL(N) no
puede ser múltiplo de 9, pues contendría un cuadrado, luego sólo lo
podría ser de 3 y (k 2 -1) aportaría el otro 3, o bien PL(N) no es múltiplo
de 3, con lo que (k 2 -1) debería serlo de 9. Analizamos:
(A) PL(N) es múltiplo de 3 y (k 2 -1) también
Para que se cumpla la segunda condición basta con que k no sea
múltiplo de 3, como puedes razonar fácilmente. Esto ocurre, por
ejemplo en el 156=4*39, en el que el cuadrado 4 no es múltiplo de 3 y
la parte libre 39 sí lo es.
(B) Si PL(N) no es múltiplo de 3, (k 2 -1) lo será de 9
En ese caso k 2 será congruente con 1 módulo 9
Ocurre en los términos 100, 200, 320, 500, 700, 1000, 1100, 1216,
1300, 1400, 1700, 1900, 2023, 2200, 2240, 2300, 2432, 2600…
En ellos el valor de k puede ser 8, 10, 17, 19, 26… que son los
números cuyo cuadrado es congruente con 1 módulo 9
(http://oeis.org/A056020).
Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A230355
El código para obtenerlos en PARI es muy parecido al del anterior
caso:
digsum(n)={local (d, p); d=0; p=n; while(p, d+=p%10; p=floor(p/10));
return(d)}
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