Divisores

Otras veces n 2 +1 es un compuesto, como 26 o 50. En ese caso la
figura se puede convertir en un rectángulo, se formaría uno de 2 por
13.
Lo que es seguro es que nunca será múltiplo de 3, ni de 4, y tampoco
de 7, pero sí puede serlo de 17 (13 2 +1=170=17*10) o de 13
(21 2 +1=442=13*34)
¿De qué depende eso? Puedes abordarlo sin especiales
conocimientos de teoría, con el uso de una hoja de cálculo. Si prefieres
profundizar, esto está relacionado con los restos cuadráticos.
Notas
- Los restos cuadráticos clasifican, respecto a expresiones del tipo n 2 +1,
a los números primos en tres clases:
Primos que no dividen a este tipo de expresiones: 3, 7, 11, 19, 23, 31,
43,…En la descomposición factorial de cuadrados más una unidad no
figurarán estos números primos. Son los que presentan la forma 4N+3
Números primos que sí son factores de expresiones del tipo n 2 +1: 2,
13, 29, 41, 53,…Se corresponden con los primos de la forma 4N+1
Por último, los que se pueden expresar como n 2 +1: 5, 17, 37, 101, 197,
… que son un subconjunto de los anteriores.
Así, por ejemplo, se dan estas descomposiciones: 32 2 +1=5 2 *41;
57 2 +1=2*5 3 *13; 211 2 +1=2*113*197=2*113*(14 2 +1)
- Los números de la forma n 2 +1 tienen una propiedad muy elegante, y
es que son divisores de otros números similares, y además, su
cociente también es del tipo n 2 +1, es decir, que para todo n, existen m
y p tales que (n 2 +1)(m 2 +1)= p 2 +1. En efecto, basta tomar m=n-1 y p=n 2 -
n+1:
- El que los primos del tipo 4N+1 posean un múltiplo del tipo n 2 +1 no es
muy difícil de demostrar si se conoce la teoría de los restos
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